어떤 문제인가
이 문제는 지수에 무리수가 포함된 식을 간단히 정리하여 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 음수 지수의 성질: 분수를 밑이 자연수인 거듭제곱 형태로 바꿀 때 음수 지수를 사용합니다. ($\frac{1}{a} = a^{-1}$)
- 지수법칙 (거듭제곱의 거듭제곱): 거듭제곱을 다시 거듭제곱할 때는 지수끼리 곱합니다. ($(a^m)^n = a^{mn}$)
- 지수법칙 (밑이 같은 곱셈): 밑이 같은 두 수의 곱셈은 지수끼리의 덧셈과 같습니다. ($a^m \times a^n = a^{m+n}$)
단계별 풀이
1단계: 밑을 $5$로 통일하기
지수법칙을 자유롭게 사용하려면 곱해지는 두 수의 '밑'을 같게 만들어야 합니다. 현재 식을 보면 하나는 밑이 $5$이고, 다른 하나는 $\frac{1}{5}$입니다.
분수 $\frac{1}{5}$을 밑이 $5$인 거듭제곱으로 바꾸어 봅시다.
$$\frac{1}{5} = 5^{-1}$$
이 성질을 이용해 문제의 오른쪽 항을 정리하면 다음과 같습니다.
$$\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}} = \left(5^{-1}\right)^{\sqrt{2}}$$
여기에 지수법칙 ($(a^m)^n = a^{mn}$)을 적용하여 지수끼리 곱해줍니다.
$$\left(5^{-1}\right)^{\sqrt{2}} = 5^{-\sqrt{2}}$$
2단계: 식을 하나로 합치고 지수법칙 적용하기
이제 원래 식의 $\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}$ 자리에 우리가 구한 $5^{-\sqrt{2}}$를 대입해 봅시다.
$$5^{\sqrt{2}+1} \times \left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}} = 5^{\sqrt{2}+1} \times 5^{-\sqrt{2}}$$
밑이 $5$로 같아졌으므로, 곱셈을 할 때 지수끼리 더해줄 수 있습니다. ($a^m \times a^n = a^{m+n}$)
$$5^{(\sqrt{2}+1) + (-\sqrt{2})}$$
3단계: 지수 계산하여 최종 답 구하기
지수 부분인 $(\sqrt{2}+1) + (-\sqrt{2})$를 계산해 봅시다. 덧셈 기호를 풀어서 정리하면 다음과 같습니다.
$$\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} = 1$$
따라서 우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$5^1 = 5$$
답
④ 5
확인해보기
오늘 배운 지수법칙을 잘 이해했는지 다음 문제를 스스로 풀어보며 확인해 보세요!
> [질문]
> $$3^{\sqrt{3}-2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{3}-4}\text{의 값은 무엇일까요?}$$