어떤 문제인가
이 문제는 모든 항이 양수인 등비수열의 성질과 합의 기호($\sum$)의 성질을 결합한 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 수열의 합과 일반항 사이의 관계: 합 $S_n$과 일반항 $a_n$ 사이에는 $S_n - S_{n-1} = a_n$ ($n \ge 2$)이라는 아주 중요한 관계가 있습니다.
- 등비수열의 일반항과 합 공식: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = ar^{n-1}$이고, 합은 $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ ($r \neq 1$)입니다.
- 치환을 이용한 방정식 풀이: 복잡해 보이는 고차방정식을 공통부분을 치환하여 익숙한 이차방정식으로 바꾸어 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 시그마($\sum$) 식을 나열하고 간단히 정리하기
문제에서 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{6} (-1)^k S_k = 21$$
이 식을 기호 없이 하나씩 풀어서 써볼까요? $k$에 1부터 6까지 차례대로 대입해 봅시다.
$$-S_1 + S_2 - S_3 + S_4 - S_5 + S_6 = 21$$
이 식의 순서를 살짝 바꾸어 부호가 반대인 것끼리 짝을 지어볼게요.
$$(S_2 - S_1) + (S_4 - S_3) + (S_6 - S_5) = 21$$
여기서 수열의 합과 일반항의 관계($S_n - S_{n-1} = a_n$)를 적용해 봅시다.
- $S_2 - S_1 = a_2$
- $S_4 - S_3 = a_4$
- $S_6 - S_5 = a_6$
따라서 위의 복잡했던 식은 아주 간단하게 다음과 같이 바뀝니다!
$$a_2 + a_4 + a_6 = 21$$
2단계: 등비수열의 성질을 이용하여 공비($r$)와 첫째항($a$) 구하기
모든 항이 양수라고 했으므로 첫째항 $a > 0$, 공비 $r > 0$입니다.
문제에서 $a_2 = 1$이라고 주어졌습니다. 등비수열의 일반항 공식에 의해,
$$a_2 = ar = 1 \implies a = \frac{1}{r}$$
이제 1단계에서 구한 식 $a_2 + a_4 + a_6 = 21$에 일반항 공식을 대입해 봅시다.
$$ar + ar^3 + ar^5 = 21$$
이 식은 $ar$로 묶을 수 있습니다.
$$ar(1 + r^2 + r^4) = 21$$
우리는 $ar = 1$이라는 것을 알고 있으므로, 이를 대입하면 다음과 같은 $r$에 대한 방정식이 나옵니다.
$$1 \cdot (1 + r^2 + r^4) = 21$$
$$r^4 + r^2 - 20 = 0$$
여기서 $r^2 = t$ ($t > 0$)로 치환해 볼까요?
$$t^2 + t - 20 = 0$$
$$(t + 5)(t - 4) = 0$$
$t > 0$이어야 하므로 $t = 4$입니다. 즉, $r^2 = 4$입니다.
공비 $r$도 양수여야 하므로 **$r = 2$**가 됩니다.
공비 $r = 2$를 $ar = 1$에 대입하면 첫째항 **$a = \frac{1}{2}$**을 얻을 수 있습니다.
3단계: 구하고자 하는 $S_2 + S_7$ 계산하기
이제 첫째항 $a = \frac{1}{2}$과 공비 $r = 2$를 알았으니, $S_2$와 $S_7$을 각각 구해봅시다.
- **$S_2$ 구하기**:
$$S_2 = a_1 + a_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$
- **$S_7$ 구하기** (등비수열의 합 공식 사용):
$$S_7 = \frac{a(r^7 - 1)}{r - 1} = \frac{\frac{1}{2}(2^7 - 1)}{2 - 1} = \frac{1}{2}(128 - 1) = \frac{127}{2}$$
따라서 우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$S_2 + S_7 = \frac{3}{2} + \frac{127}{2} = \frac{130}{2} = 65$$
답
③ 65
확인해보기
이번 문제에서는 짝수 항까지의 합을 구해서 깔끔하게 두 항씩 묶였습니다. 만약 문제의 조건이 홀수 항까지인 다음과 같은 식이었다면, 일반항 $a_n$을 사용하여 어떻게 간단히 나타낼 수 있을까요? 스스로 식을 전개해보고 생각해보세요.
$$\sum_{k=1}^{5} (-1)^k S_k$$