어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 속도 그래프나 식을 보고, 점의 운동 방향, 위치, 그리고 실제 움직인 거리를 구할 수 있는지 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 운동 방향의 변화: 속도 $v(t)$의 부호(양수/음수)가 바뀔 때 운동 방향이 바뀝니다.
- 위치: 처음 위치에 속도 $v(t)$의 정적분 값을 더하면 현재 위치가 됩니다.
- 움직인 거리: 방향과 상관없이 실제로 이동한 총 길이이므로, 속도의 절댓값 $|v(t)|$을 정적분하여 구합니다.
단계별 풀이
1단계: <보기> ㄱ 분석하기 (운동 방향이 바뀌는 시각 찾기)
점 $\text{P}$의 운동 방향이 바뀐다는 것은 속도 $v(t)$의 부호가 $+$에서 $-$로, 또는 $-$에서 $+$로 바뀌는 것을 의미합니다. 먼저 속도가 $0$이 되는 시각을 찾아봅시다.
속도 식을 인수분해 해볼까요?
$$v(t) = 3t^2 - 10t + 7 = (3t - 7)(t - 1)$$
$v(t) = 0$이 되는 시각은 $t = 1$ 또는 $t = \frac{7}{3}$입니다.
- $0 \le t < 1$ 일 때: $v(t) > 0$ (양의 방향으로 운동)
- $1 < t < \frac{7}{3}$ 일 때: $v(t) < 0$ (음의 방향으로 운동)
$t=1$을 기준으로 속도의 부호가 양수($+$)에서 음수($-$)로 바뀌므로, **시각 $t=1$일 때 점 $\text{P}$의 운동 방향이 바뀐다**는 설명은 맞습니다. (ㄱ은 참)
2단계: <보기> ㄴ 분석하기 (시각 $t=1$에서의 위치 구하기)
시각 $t$에서의 점 $\text{P}$의 위치를 $x(t)$라고 해봅시다. 출발할 때 원점($t=0$일 때 $x(0)=0$)에서 출발했으므로, 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 속도를 적분하여 구할 수 있습니다.
$$x(t) = \int_{0}^{t} v(s) ds = \int_{0}^{t} (3s^2 - 10s + 7) ds$$
$$x(t) = [s^3 - 5s^2 + 7s]_{0}^{t} = t^3 - 5t^2 + 7t$$
이제 $t=1$일 때의 위치 $x(1)$을 계산해 봅시다.
$$x(1) = 1^3 - 5(1)^2 + 7(1) = 1 - 5 + 7 = 3$$
따라서 **시각 $t=1$일 때 점 $\text{P}$의 위치는 $3$이다**라는 설명도 맞습니다. (ㄴ은 참)
3단계: <보기> ㄷ 분석하기 (시각 $t=0$에서 $t=2$까지 움직인 거리 구하기)
'움직인 거리'는 위치의 변화량이 아니라, 뒤로 간 거리까지 모두 양수로 더한 실제 이동 거리입니다.
우리는 앞서 $t=1$에서 운동 방향이 바뀐다는 것을 알았습니다. 즉, $t=0$부터 $t=1$까지는 앞으로 갔고, $t=1$부터 $t=2$까지는 뒤로 갔습니다.
따라서 구간을 나누어 거리를 구해야 합니다.
- **$t=0$에서 $t=1$까지 움직인 거리**:
처음 위치는 $x(0) = 0$이고, $t=1$일 때의 위치는 $x(1) = 3$이므로, 앞으로 **$3$**만큼 움직였습니다.
- **$t=1$에서 $t=2$까지 움직인 거리**:
먼저 $t=2$일 때의 위치 $x(2)$를 구해봅시다.
$$x(2) = 2^3 - 5(2)^2 + 7(2) = 8 - 20 + 14 = 2$$
$t=1$일 때 위치 $3$에 있던 점이 $t=2$일 때 위치 $2$로 갔으므로, 뒤로 **$1$**만큼 움직였습니다. (거리이므로 크기만 생각합니다.)
따라서 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\text{P}$가 실제 움직인 총 거리는 다음과 같습니다.
$$\text{움직인 거리} = 3 + 1 = 4$$
그러므로 **시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\text{P}$가 움직인 거리는 $4$이다**라는 설명도 맞습니다. (ㄷ은 참)
답
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
확인해보기
시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 $\text{P}$의 위치의 변화량(변위)은 얼마일까요? 그리고 이 값은 왜 '움직인 거리($4$)'와 다를까요? 스스로 생각해보세요!