어떤 문제인가
이 문제는 지수함수 그래프 위의 점들의 기하학적 성질(길이와 넓이)을 이용하여 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수 위의 점의 좌표 표현: 곡선 $y=a^x$ 위의 점의 $x$좌표를 알면 $y$좌표를 $a$를 사용해 나타낼 수 있습니다.
- 두 점 사이의 거리 공식: 좌표평면 위의 두 점 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ 사이의 거리는 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$입니다.
- 삼각형의 넓이: 밑변의 길이와 높이를 알면 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{A}$, $\text{B}$, $\text{C}$의 좌표 나타내기
먼저 문제의 조건에 따라 세 점의 좌표를 $a$와 $t$를 사용해 나타내 봅시다.
- 점 $\text{A}$는 곡선 $y=a^x$와 직선 $x=t$가 만나는 점이므로:
$$\text{A}(t, a^t)$$
- 점 $\text{B}$는 곡선 $y=a^x$와 직선 $x=2t$가 만나는 점이므로:
$$\text{B}(2t, a^{2t})$$
- 점 $\text{C}$는 점 $\text{B}$에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로 $x$좌표는 $2t$이고 $y$좌표는 $0$입니다:
$$\text{C}(2t, 0)$$
2단계: 조건 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{AC}}$를 이용하여 $a^t$의 값 구하기
두 선분의 길이가 같다는 조건을 이용하기 위해, 두 점 사이의 거리 공식을 사용해 봅시다. 계산을 편하게 하기 위해 양변을 제곱한 $\overline{\text{AB}}^2 = \overline{\text{AC}}^2$을 이용할게요.
- $\overline{\text{AC}}^2$ 구하기:
$$\overline{\text{AC}}^2 = (2t - t)^2 + (0 - a^t)^2 = t^2 + (a^t)^2$$
- $\overline{\text{AB}}^2$ 구하기:
$$\overline{\text{AB}}^2 = (2t - t)^2 + (a^{2t} - a^t)^2 = t^2 + (a^{2t} - a^t)^2$$
두 식을 서로 같다고 놓으면:
$$t^2 + (a^t)^2 = t^2 + (a^{2t} - a^t)^2$$
양변에서 $t^2$을 빼서 정리하면 다음과 같은 간단한 식을 얻을 수 있습니다:
$$(a^t)^2 = (a^{2t} - a^t)^2$$
여기서 $a > 1$이고 $t > 0$이므로 $a^{2t} > a^t$입니다. 즉, $a^{2t} - a^t > 0$이므로 양변의 제곱근을 취하면 다음과 같습니다:
$$a^t = a^{2t} - a^t$$
이 식을 정리해 볼까요?
$$a^{2t} = 2a^t$$
$a^t > 0$이므로 양변을 $a^t$로 나누면 아주 중요한 단서를 얻게 됩니다:
$$a^t = 2$$
3단계: 삼각형 $\text{ACB}$의 넓이를 이용하여 $t$의 값 구하기
이제 $a^t = 2$라는 것을 알았으니, 세 점의 좌표를 다시 써서 단순하게 만들어 봅시다.
- $\text{A}(t, 2)$
- $\text{B}(2t, a^{2t}) = \text{B}(2t, (a^t)^2) = \text{B}(2t, 4)$
- $\text{C}(2t, 0)$
이 세 점으로 이루어진 삼각형 $\text{ACB}$의 넓이를 구해 봅시다.
- 선분 $\text{BC}$는 $x$좌표가 $2t$로 일정하므로, $y$축과 평행한 수직선분입니다. 따라서 밑변으로 잡기 아주 좋습니다.
$$\text{밑변의 길이} = \overline{\text{BC}} = 4 - 0 = 4$$
- 높이는 점 $\text{A}$에서 직선 $x=2t$까지의 수평 거리입니다. 점 $\text{A}$의 $x$좌표는 $t$이고, 직선의 $x$좌표는 $2t$이므로:
$$\text{높이} = 2t - t = t$$
따라서 삼각형 $\text{ACB}$의 넓이는 다음과 같습니다:
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times 4 \times t = 2t$$
문제에서 이 넓이가 $8$이라고 했으므로:
$$2t = 8 \implies t = 4$$
4단계: $a$의 값과 $a \times t$ 구하기
이제 마지막 단계입니다!
$t = 4$이므로, 2단계에서 구한 $a^t = 2$에 대입하면:
$$a^4 = 2$$
$$a = 2^{\frac{1}{4}} \quad (\because a > 1)$$
우리가 구하고자 하는 값은 $a \times t$이므로:
$$a \times t = 2^{\frac{1}{4}} \times 4 = 2^{\frac{1}{4}} \times 2^2 = 2^{\frac{1}{4} + 2} = 2^{\frac{9}{4}}$$
답
① $2^{\frac{9}{4}}$
확인해보기
만약 문제에서 삼각형 $\text{ACB}$의 넓이가 $8$이 아니라 **$12$**로 주어졌다면, $t$의 값과 최종 구하고자 하는 $a \times t$의 값은 각각 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요!