어떤 문제인가
이 문제는 함수의 극한값이 모든 실수에서 존재하도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 분수함수의 극한의 수렴 조건: 분모가 $0$으로 갈 때 극한값이 존재하려면, 분자도 반드시 $0$으로 가야 합니다.
- 이차함수의 항상 양수일 조건 (판별식): 모든 실수 $x$에 대해 이차식이 항상 양수이려면 판별식 $D < 0$이어야 합니다.
- 인수정리와 약분: 분모와 분자가 동시에 $0$이 되는 지점에서는 공통인수를 약분하여 극한값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 분모를 인수분해하여 식 단순화하기
먼저 주어진 극한식의 분모를 정리해 봅시다. 분모를 $g(x)$라고 놓을게요.
$$g(x) = (f(x))^2 - k(x+2)f(x)$$
이 식은 공통인수 $f(x)$로 묶을 수 있습니다.
$$g(x) = f(x) \left\{ f(x) - k(x+2) \right\}$$
여기서 $f(x) = x^2 + 6x + 12$를 완전제곱식으로 고쳐보면 다음과 같습니다.
$$f(x) = (x+3)^2 + 3$$
실수의 제곱은 항상 $0$ 이상이므로, $f(x)$는 모든 실수 $x$에 대해 항상 $3$ 이상, 즉 **항상 양수($f(x) > 0$)**입니다.
따라서 분모 $g(x)$가 $0$이 되는지 여부는 오직 뒤의 식인 $f(x) - k(x+2)$에 의해서만 결정됩니다. 편리하게 이 식을 $h(x)$라고 합시다.
$$h(x) = f(x) - k(x+2) = x^2 + (6-k)x + 12-2k$$
2단계: 극한값이 항상 존재할 조건 분석하기
우리가 구해야 하는 극한은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to a} \frac{x^2}{f(x) \cdot h(x)}$$
이 극한값이 모든 실수 $a$에 대해 존재해야 합니다.
- 만약 어떤 $a$에 대해 분모가 $0$이 아니라면($f(a) \cdot h(a) \neq 0$), 극한값은 함숫값 대입으로 항상 존재합니다.
- 하지만 만약 어떤 $a$에 대해 분모가 $0$이 된다면($f(a) \cdot h(a) = 0$), 극한값이 존재하기 위해서는 **분자도 반드시 $0$이 되어야 합니다.**
분자는 $x^2$이므로, 분자가 $0$이 되는 유일한 값은 $x = 0$뿐입니다.
따라서 분모가 $0$이 되는 순간이 있다면, 그 지점은 **오직 $x = 0$뿐이어야 합니다.** 만약 $0$이 아닌 다른 값에서 분모가 $0$이 된다면, 분자는 $0$이 아니므로 극한값은 존재하지 않게 됩니다.
결국, 다음 두 가지 경우만 가능합니다.
- [경우 1] 분모가 $0$이 되는 실수가 아예 없는 경우 (즉, $h(x) = 0$의 실근이 없는 경우)
- [경우 2] 분모가 $0$이 되는 실수가 오직 $x = 0$ 하나뿐인 경우 (즉, $h(x) = 0$의 실근이 $x = 0$뿐인 경우)
3단계: [경우 1] 분모가 절대 0이 되지 않는 경우
$h(x) = x^2 + (6-k)x + 12-2k = 0$이 실근을 갖지 않아야 합니다.
이차방정식이 실근을 갖지 않을 조건은 판별식 $D < 0$입니다.
$$D = (6-k)^2 - 4(12-2k) < 0$$
식의 괄호를 풀고 정리해 봅시다.
$$36 - 12k + k^2 - 48 + 8k < 0$$
$$k^2 - 4k - 12 < 0$$
인수분해를 하면,
$$(k-6)(k+2) < 0$$
따라서 $k$의 범위는 다음과 같습니다.
$$-2 < k < 6$$
이 범위에 있는 정수 $k$는 **$-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$로 총 7개**입니다.
4단계: [경우 2] 분모가 0이 되는 값이 오직 $x = 0$뿐인 경우
$h(x) = 0$의 근이 $x = 0$이어야 하므로, $h(0) = 0$이어야 합니다.
$$h(0) = 12 - 2k = 0 \implies k = 6$$
실제로 $k = 6$일 때 극한값이 존재하는지 확인해 봅시다.
$k = 6$을 $h(x)$에 대입하면,
$$h(x) = x^2 + (6-6)x + 12-12 = x^2$$
이때 $x \to 0$일 때의 극한을 구해보면,
$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{f(x) \cdot x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{f(0)} = \frac{1}{12}$$
극한값이 아주 예쁘게 존재하네요! 또한 $h(x) = x^2$은 $x=0$ 외에는 $0$이 되지 않으므로 다른 모든 실수에서도 극한값이 존재합니다.
따라서 **$k = 6$**도 우리가 찾는 답에 포함됩니다.
*(참고: $k = -2$일 때는 $h(x) = (x+4)^2$이 되어 분모가 $x = -4$에서 $0$이 되지만 분자는 $0$이 되지 않으므로 극한값이 존재하지 않습니다.)*
5단계: 만족하는 정수 $k$의 개수 구하기
[경우 1]과 [경우 2]에서 구한 정수 $k$를 모두 모으면 다음과 같습니다.
$$k \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
따라서 만족하는 모든 정수 $k$의 개수는 8개입니다.
답
정답은 ④ 8입니다.
확인해보기
만약 문제에서 분자가 $x^2$이 아니라 **$(x-1)^2$**로 바뀌었다면, 분모가 $0$이 될 수 있는 유일한 $x$의 값은 무엇이 되어야 할까요? 오늘 배운 개념을 바탕으로 생각해보세요!