어떤 문제인가
이 문제는 탄젠트 함수의 그래프가 가진 성질을 이해하고, 이를 좌표평면 위에 나타내어 기하학적 조건(길이의 비, 삼각형의 넓이)을 만족하는 미지수를 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 탄젠트 함수의 주기성: 함수 $y = \tan \frac{x}{k}$의 주기가 어떻게 결정되는지 이해합니다.
- 삼각방정식의 해와 좌표 설정: 그래프 위의 점들의 좌표를 주기를 이용하여 문자로 나타냅니다.
- 삼각형의 넓이 (사선 공식 등): 세 점의 좌표가 주어졌을 때 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 탄젠트 함수의 주기 구하기와 점 A, B의 좌표 설정하기
먼저 함수 $f(x) = \tan \frac{x}{k}$의 주기를 구해봅시다. 탄젠트 함수 $y = \tan mx$의 주기는 $\frac{\pi}{|m|}$입니다. 여기서 $k > 0$이므로, $f(x)$의 주기는 다음과 같습니다.
$$\text{주기 } T = \frac{\pi}{\frac{1}{k}} = k\pi$$
점 $\text{A}$와 $\text{B}$는 $y$축에 평행한 직선 $y = p$가 함수 $y = f(x)$와 만나는 점입니다. 탄젠트 함수는 주기마다 같은 모양이 반복되므로, 이웃한 두 가지(branch)에서 같은 $y$값을 갖는 두 점 사이의 거리는 정확히 한 주기와 같습니다.
따라서 선분 $\text{AB}$의 길이는 주기와 같습니다.
$$\overline{\text{AB}} = k\pi$$
문제에서 $\overline{\text{AB}} = 3\overline{\text{PA}}$라고 했습니다. 점 $\text{P}$의 좌표가 $(0, p)$이므로, 선분 $\text{PA}$의 길이는 점 $\text{A}$의 $x$좌표와 같습니다. 점 $\text{A}$의 $x$좌표를 $x_A$라 하면,
$$\overline{\text{PA}} = x_A$$
$$k\pi = 3x_A \implies x_A = \frac{k\pi}{3}$$
점 $\text{B}$의 $x$좌표 $x_B$는 점 $\text{A}$의 $x$좌표에서 한 주기($k\pi$)만큼 더 간 것이므로 다음과 같습니다.
$$x_B = x_A + k\pi = \frac{k\pi}{3} + k\pi = \frac{4k\pi}{3}$$
2단계: $p$의 값 구하기
점 $\text{A}\left(\frac{k\pi}{3}, p\right)$는 함수 $y = f(x)$ 위의 점이므로, 함수식에 대입해 봅시다.
$$p = f\left(\frac{k\pi}{3}\right) = \tan \left( \frac{\frac{k\pi}{3}}{k} \right) = \tan \frac{\pi}{3}$$
우리가 잘 알고 있는 특수각의 삼각비 값을 대입하면,
$$p = \sqrt{3}$$
을 얻을 수 있습니다.
3단계: 점 C의 좌표 구하기
점 $\text{C}$는 직선 $y = -p = -\sqrt{3}$이 함수 $y = f(x)$와 만나는 점입니다. 점 $\text{C}$의 $x$좌표를 $x_C$라 하고 식을 세워봅시다.
$$\tan \frac{x_C}{k} = -\sqrt{3}$$
탄젠트 값이 $-\sqrt{3}$이 되는 각도를 찾아야 합니다. 주어진 정의역 $0 \le x < \frac{3k\pi}{2}$에서 $\frac{x}{k}$의 범위는 $0 \le \frac{x}{k} < \frac{3\pi}{2}$입니다. 이 범위에서 탄젠트 값이 $-\sqrt{3}$이 되는 곳은 제2사분면의 각입니다.
$$\frac{x_C}{k} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
$$x_C = \frac{2k\pi}{3}$$
따라서 점 $\text{C}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{C}\left(\frac{2k\pi}{3}, -\sqrt{3}\right)$$
4단계: 삼각형 OCB의 넓이를 이용하여 $k$ 구하기
이제 세 점 $\text{O}(0,0)$, $\text{C}\left(\frac{2k\pi}{3}, -\sqrt{3}\right)$, $\text{B}\left(\frac{4k\pi}{3}, \sqrt{3}\right)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\text{OCB}$의 넓이를 구해봅시다.
세 점 중 하나가 원점 $\text{O}(0,0)$이므로, 사선 공식(신발끈 공식)을 쓰면 아주 쉽게 넓이를 구할 수 있습니다. 세 점이 $(0,0)$, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$일 때 삼각형의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$$
이 공식에 점 $\text{C}$와 $\text{B}$의 좌표를 대입해 봅시다.
$$S = \frac{1}{2} \left| \left(\frac{2k\pi}{3}\right)(\sqrt{3}) - \left(\frac{4k\pi}{3}\right)(-\sqrt{3}) \right|$$
$$S = \frac{1}{2} \left| \frac{2\sqrt{3}k\pi}{3} + \frac{4\sqrt{3}k\pi}{3} \right|$$
$$S = \frac{1}{2} \left| \frac{6\sqrt{3}k\pi}{3} \right| = \frac{1}{2} (2\sqrt{3}k\pi) = \sqrt{3}k\pi$$
문제에서 이 넓이가 $\frac{5\pi}{3}$라고 주어졌으므로,
$$\sqrt{3}k\pi = \frac{5\pi}{3}$$
$$\sqrt{3}k = \frac{5}{3} \implies k = \frac{5}{3\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{9}$$
5단계: $k+p$ 계산하기
우리가 구한 $k$와 $p$의 값을 더해봅시다.
$$k + p = \frac{5\sqrt{3}}{9} + \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{9} + \frac{9\sqrt{3}}{9} = \frac{14\sqrt{3}}{9}$$
답
**③ $\frac{14\sqrt{3}}{9}$**
확인해보기
만약 문제의 조건 중에서 $\overline{\text{AB}} = 3\overline{\text{PA}}$가 아니라 **$\overline{\text{AB}} = 2\overline{\text{PA}}$**로 바뀐다면, $p$의 값은 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요. (힌트: 점 $\text{A}$의 $x$좌표가 어떻게 바뀔지 먼저 생각해 보세요!)