어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$의 도함수를 구하고, 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 찾아내는 문제입니다.
우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $g(x) = \int_{0}^{x} h(t) dt$ 이면 $g'(x) = h(x)$ 입니다.
- 함수의 극값과 도함수의 부호 변화: 함수 $g(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지려면 $g'(\alpha)=0$이어야 하고, $x=\alpha$ 좌우에서 $g'(x)$의 부호가 바뀌어야 합니다.
- 절댓값 방정식의 기하학적 의미: $|f(x)| = |x|$의 실근은 두 함수 $y = |f(x)|$와 $y = |x|$의 교점의 $x$좌표와 같습니다.
단계별 풀이
1단계: $g'(x)$ 구하기와 조건 (가) 해석하기
먼저 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$를 미분해 봅시다. 정적분과 미분의 관계에 의해 다음과 같습니다.
$$g'(x) = |f(x)| - |x|$$
조건 (가)에서 방정식 $g'(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$라고 했습니다.
$$g'(x) = 0 \iff |f(x)| = |x|$$
이 방정식의 실근은 $y = |f(x)|$와 $y = |x|$의 교점의 $x$좌표입니다.
문제에서 $f(0) = 0$이라고 했으므로, $x=0$은 항상 이 방정식의 실근이 됩니다 ($|f(0)| = |0| = 0$).
따라서 $x=0$을 제외하고 서로 다른 실근이 3개 더 존재해야 합니다.
2단계: 이차함수로 바꾸어 가능한 경우를 모두 찾기
$f(0)=0$이므로 $f(x)=xq(x)$로 놓읍시다. $q(x)$는 최고차항의 계수가 양수인 이차함수입니다.
$$g'(x)=|x|\bigl(|q(x)|-1\bigr)$$
따라서 $0$ 이외의 근은 $q(x)=1$ 또는 $q(x)=-1$에서 생깁니다. $x=2,6$에서는 극값을 가지므로 $g'$의 부호가 바뀌어야 합니다. 이 두 점은 수평선 $y=1$ 또는 $y=-1$과 접하는 점이 아니라 가로지르는 점입니다.
포물선 $y=q(x)$의 최솟값을 $v$라 합시다.
- $v>-1$이면 두 수평선과의 서로 다른 교점이 많아야 두 개이므로, $0$을 더해도 근이 네 개가 될 수 없습니다.
- $v=-1$이면 $y=-1$과의 접점 하나, $y=1$과의 교점 두 개가 생깁니다. 부호가 바뀌는 두 점이 $2,6$이므로
$$q(x)=\frac12(x-4)^2-1$$
입니다. 이때 $0<x<2$에서 $q(x)>1$이므로 $g(2)>0$이고 $f(6)=6$입니다. 곱이 양수이므로 제외합니다.
- $v<-1$이면 두 수평선과 교점이 각각 두 개씩 생깁니다. 근이 정확히 네 개이려면 이 네 교점의 $x$좌표 중 하나가 $0$이어야 합니다.
3단계: 네 교점이 있는 경우를 빠짐없이 나누기
같은 높이에 있는 두 교점은 포물선의 축에 대해 대칭입니다. 따라서 네 교점의 $x$좌표를 작은 순서로 $r_1,r_2,r_3,r_4$라 하면
$$r_1+r_4=r_2+r_3$$
이고, 바깥쪽 두 점은 $q=1$, 안쪽 두 점은 $q=-1$을 만족합니다. 이미 $0,2,6$이 있으므로 나머지 점은 $-4,4,8$ 중 하나입니다.
| 교점의 $x$좌표 | $q(x)$ | $f(6)$ | $g(2)$의 부호 |
|---|---|---|---|
| $-4,0,2,6$ | $-1+\frac1{12}x(x-2)$ | $6$ | 양수 |
| $0,2,4,6$ | $1+\frac14x(x-6)$ | $6$ | 음수 |
| $0,2,6,8$ | $1+\frac16x(x-8)$ | $-6$ | 음수 |
첫 번째 경우에는 $0<x<2$에서 $q(x)<-1$이므로 $g'(x)>0$입니다. 나머지 두 경우에는 이 구간에서 $-1<q(x)<1$이므로 $g'(x)<0$입니다. $g(0)=0$이므로 표의 부호를 얻습니다.
따라서 $f(6)g(2)<0$을 만족하는 것은 두 번째 경우뿐입니다.
4단계: 함수식과 극값 조건 확인하기
$$f(x)=x\left(1+\frac14x(x-6)\right)=\frac14x^3-\frac32x^2+x$$
입니다. 이때 $g'$의 서로 다른 근은 $0,2,4,6$이고, $2$에서는 음수에서 양수로, $6$에서는 음수에서 양수로 부호가 바뀝니다. 따라서 두 점 모두 극값을 갖습니다.
5단계: 조건 검증 및 최종 계산
$a = \frac{1}{4}$일 때 삼차함수 $f(x)$를 구해봅시다.
$$f(x) - x = \frac{1}{4}x^2(x-6)$$
$$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x$$
이 함수가 조건들을 모두 만족하는지 검증해 봅시다.
- $f(6) = 6 > 0$ 입니다.
- $x \in (0, 2)$ 일 때, $f(x) - x = \frac{1}{4}x^2(x-6) < 0 \implies f(x) < x$ 이고, $f(x) + x = \frac{1}{4}x(x-2)(x-4) > 0 \implies f(x) > -x$ 입니다.
- 따라서 이 구간에서 $|f(x)| < x$ 이므로 $g'(x) = |f(x)| - x < 0$ 입니다.
- $g(0) = 0$ 이고 구간 $(0, 2)$에서 $g'(x) < 0$ 이므로, $g(2) < 0$ 이 확실합니다.
- 따라서 $f(6) \times g(2) < 0$ 조건을 완벽히 만족합니다!
이제 우리가 구하고자 하는 $f(8)$의 값을 계산해 봅시다.
$$f(8) = \frac{1}{4}(8)^3 - \frac{3}{2}(8)^2 + 8$$
$$f(8) = \frac{1}{4}(512) - \frac{3}{2}(64) + 8$$
$$f(8) = 128 - 96 + 8 = 40$$
답
정답은 ⑤ ($40$) 입니다.
확인해보기
두 수평선 $y=1$, $y=-1$이 위로 열린 포물선과 각각 두 점에서 만날 때, 왜 바깥쪽 두 교점의 $x$좌표의 합과 안쪽 두 교점의 $x$좌표의 합이 같을까요? 포물선의 대칭축을 이용해 설명해 보세요.