어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$의 도함수를 구하고, 주어진 조건들을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 찾아내는 문제입니다.
우리가 이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $g(x) = \int_{0}^{x} h(t) dt$ 이면 $g'(x) = h(x)$ 입니다.
- 함수의 극값과 도함수의 부호 변화: 함수 $g(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지려면 $g'(\alpha)=0$이어야 하고, $x=\alpha$ 좌우에서 $g'(x)$의 부호가 바뀌어야 합니다.
- 절댓값 방정식의 기하학적 의미: $|f(x)| = |x|$의 실근은 두 함수 $y = |f(x)|$와 $y = |x|$의 교점의 $x$좌표와 같습니다.
단계별 풀이
1단계: $g'(x)$ 구하기와 조건 (가) 해석하기
먼저 정적분으로 정의된 함수 $g(x)$를 미분해 봅시다. 미분적분학의 기본정리에 의해 다음과 같습니다.
$$g'(x) = |f(x)| - |x|$$
조건 (가)에서 방정식 $g'(x) = 0$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$라고 했습니다.
$$g'(x) = 0 \iff |f(x)| = |x|$$
이 방정식의 실근은 $y = |f(x)|$와 $y = |x|$의 교점의 $x$좌표입니다.
문제에서 $f(0) = 0$이라고 했으므로, $x=0$은 항상 이 방정식의 실근이 됩니다 ($|f(0)| = |0| = 0$).
따라서 $x=0$을 제외하고 서로 다른 실근이 3개 더 존재해야 합니다.
2단계: 조건 (나)를 통해 극값의 위치 파악하기
조건 (나)에서 $g(x)$는 $x=2$, $x=6$에서 극값을 갖는다고 했습니다.
극값을 갖는 곳에서는 도함수 $g'(x) = 0$이어야 하므로, $x=2$와 $x=6$은 $g'(x)=0$의 실근입니다.
즉, $|f(2)| = |2| = 2$ 이고 $|f(6)| = |6| = 6$ 입니다.
여기서 $f(2)$와 $f(6)$의 부호에 따라 여러 가지 경우가 나올 수 있습니다.
우리는 문제의 마지막 조건인 $f(6) \times g(2) < 0$을 만족하는 경우를 찾아야 합니다.
만약 $f(6) > 0$ 이라면 $f(6) = 6$ 이고, 이때 $g(2) < 0$ 이어야 합니다.
$g(2) = \int_{0}^{2} (|f(t)| - t) dt < 0$ 이 되려면, $t \in (0, 2)$ 영역에서 대체로 $|f(t)| < t$ 여야 합니다.
이를 만족하기 위해 $f(2) = -2$인 경우를 먼저 가정하고 식을 세워봅시다. (즉, $f(2) = -2$, $f(6) = 6$)
3단계: 삼차함수 $f(x)$ 식 세우기
$f(x)$는 최고차항의 계수가 양수(편의상 $a$라 합시다, $a>0$)인 삼차함수입니다.
$f(2) = -2$ 이고 $f(6) = 6$ 이므로, 다음과 같이 두 식을 세울 수 있습니다.
- $f(x) + x = 0$ 은 $x=0, 2$를 근으로 가집니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(x) + x = x(x-2)(ax - b)$$
- $f(x) - x = 0$ 은 $x=0, 6$을 근으로 가집니다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$f(x) - x = x(x-6)(ax - c)$$
이 두 식을 연립하여 $b$와 $c$를 $a$에 대한 식으로 나타내 봅시다. 두 식을 서로 빼면,
$$2x = x(x-2)(ax-b) - x(x-6)(ax-c)$$
$x \neq 0$ 일 때 양변을 $x$로 나누면,
$$2 = (x-2)(ax-b) - (x-6)(ax-c)$$
우변을 전개해서 정리해 봅시다.
$$2 = ax^2 - (2a+b)x + 2b - (ax^2 - (6a+c)x + 6c)$$
$$2 = (4a - b + c)x + 2b - 6c$$
이 식은 모든 실수 $x$에 대해 성립하는 항등식이므로, $x$의 계수는 $0$이고 상수항은 $2$여야 합니다.
- $4a - b + c = 0 \implies b - c = 4a$
- $2b - 6c = 2 \implies b - 3c = 1 \implies b = 3c + 1$
이 두 식을 연립하면 다음과 같습니다.
$$(3c + 1) - c = 4a \implies 2c = 4a - 1 \implies c = 2a - \frac{1}{2}$$
$$b = 3\left(2a - \frac{1}{2}\right) + 1 = 6a - \frac{1}{2}$$
4단계: 실근의 개수가 4개인 조건으로 $a$ 구하기
이제 $f(x)+x=0$과 $f(x)-x=0$의 근을 다시 정리해 봅시다.
- $f(x) + x = 0 \implies x = 0,\; 2,\; x_1 = \frac{b}{a} = 6 - \frac{1}{2a}$
- $f(x) - x = 0 \implies x = 0,\; 6,\; x_2 = \frac{c}{a} = 2 - \frac{1}{2a}$
$g'(x) = 0$의 실근은 이 두 방정식의 근들의 합집합입니다. 즉, 실근의 후보는 다음과 같습니다.
$$\left\{ 0,\; 2,\; 6,\; 6 - \frac{1}{2a},\; 2 - \frac{1}{2a} \right\}$$
이 값들이 서로 다른 4개의 실근을 가져야 합니다.
$a > 0$ 이므로 $2 - \frac{1}{2a} < 2$ 입니다. 따라서 이 값이 $0$이 될 때 실근의 개수가 중복되어 4개가 될 수 있습니다.
$$2 - \frac{1}{2a} = 0 \implies a = \frac{1}{4}$$
$a = \frac{1}{4}$을 대입하면 실근의 후보는 $\{0, 2, 6, 4\}$가 되어 정확히 4개의 서로 다른 실근을 갖게 됩니다!
5단계: 조건 검증 및 최종 계산
$a = \frac{1}{4}$일 때 삼차함수 $f(x)$를 구해봅시다.
$$f(x) - x = \frac{1}{4}x^2(x-6)$$
$$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x$$
이 함수가 조건들을 모두 만족하는지 검증해 봅시다.
- $f(6) = 6 > 0$ 입니다.
- $x \in (0, 2)$ 일 때, $f(x) - x = \frac{1}{4}x^2(x-6) < 0 \implies f(x) < x$ 이고, $f(x) + x = \frac{1}{4}x(x-2)(x-4) > 0 \implies f(x) > -x$ 입니다.
- 따라서 이 구간에서 $|f(x)| < x$ 이므로 $g'(x) = |f(x)| - x < 0$ 입니다.
- $g(0) = 0$ 이고 구간 $(0, 2)$에서 $g'(x) < 0$ 이므로, $g(2) < 0$ 이 확실합니다.
- 따라서 $f(6) \times g(2) < 0$ 조건을 완벽히 만족합니다!
이제 우리가 구하고자 하는 $f(8)$의 값을 계산해 봅시다.
$$f(8) = \frac{1}{4}(8)^3 - \frac{3}{2}(8)^2 + 8$$
$$f(8) = \frac{1}{4}(512) - \frac{3}{2}(64) + 8$$
$$f(8) = 128 - 96 + 8 = 40$$
답
정답은 ⑤ ($40$) 입니다.
확인해보기
풀이 과정의 4단계에서 $a = \frac{1}{4}$일 때 실근의 후보가 $\{0, 2, 6, 4\}$가 되었습니다.
그렇다면 만약 또 다른 후보인 $x_1 = 6 - \frac{1}{2a}$이 $2$가 되도록 하는 $a$값(즉, $a = \frac{1}{8}$)을 선택했을 때는 왜 문제의 조건(나)를 만족하지 못하는지, $g'(x)$의 부호 변화 관점에서 스스로 설명해 보세요.