어떤 문제인가
이 문제는 첫째항이 주어지고, 이웃하는 항들 사이의 관계식(귀납적 정의)이 주어졌을 때 특정 항의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 귀납적 정의: 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 수열을 정의하는 것입니다.
- 차례대로 대입하기: 복잡한 공식 없이도, $n=1, 2, 3, \dots$을 차례대로 대입하면 원하는 항의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $a_2$의 값 구하기
우리가 최종적으로 구하고 싶은 것은 $a_3$입니다. 하지만 $a_3$을 바로 구할 수는 없고, 관계식을 이용해 바로 전 단계인 $a_2$를 먼저 구해야 합니다.
주어진 관계식 $a_{n+1} = n a_n + 2$에 $n=1$을 대입해 봅시다.
$$a_{1+1} = 1 \cdot a_1 + 2$$
$$a_2 = a_1 + 2$$
문제에서 첫째항 $a_1 = 1$이라고 알려주었으므로, 이 값을 대입합니다.
$$a_2 = 1 + 2 = 3$$
따라서 $a_2 = 3$임을 알 수 있습니다.
2단계: $a_3$의 값 구하기
이제 $a_2$의 값을 알았으니, 우리가 구하고자 하는 $a_3$을 구할 차례입니다.
이번에는 관계식 $a_{n+1} = n a_n + 2$에 $n=2$를 대입해 봅시다.
$$a_{2+1} = 2 \cdot a_2 + 2$$
$$a_3 = 2 a_2 + 2$$
앞서 1단계에서 구한 $a_2 = 3$을 이 식에 대입합니다.
$$a_3 = 2 \cdot 3 + 2$$
$$a_3 = 6 + 2 = 8$$
이렇게 차근차근 대입하여 $a_3$의 값을 구했습니다!
답
$$8$$
확인해보기
이해가 잘 되었는지 확인해 볼까요?
위에서 구한 규칙과 값들을 바탕으로, 다음 항인 **$a_4$의 값**은 무엇이 될지 스스로 계산해 보세요!