어떤 문제인가
이 문제는 도함수(미분한 함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 구하고 특정 값에서의 함숫값을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 통해 원래 함수 $f(x)$를 복원하는 과정입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 임의의 상수입니다.
- 함숫값의 대입: 주어진 조건 $f(1) = 6$을 이용해 적분상수를 구하고, 최종적으로 $f(2)$를 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 원래 함수 $f(x)$의 식 세우기 (부정적분)
도함수 $f'(x)$를 적분하면 원래 함수 $f(x)$를 얻을 수 있습니다. 식을 써보면 다음과 같습니다.
$$f(x) = \int f'(x) \, dx = \int (3x^2 + 2x + 1) \, dx$$
다항함수의 적분 공식 $\int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$를 이용하여 각 항을 적분해 봅시다.
- $3x^2$을 적분하면: $x^3$
- $2x$를 적분하면: $x^2$
- $1$을 적분하면: $x$
여기에 적분상수 $C$를 더해주면 $f(x)$는 다음과 같이 정리됩니다.
$$f(x) = x^3 + x^2 + x + C$$
2단계: 적분상수 $C$ 구하기
문제에서 $f(1) = 6$이라는 아주 중요한 힌트를 주었습니다. 이 식에 $x = 1$을 대입해서 $C$의 값을 찾아봅시다.
$$f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 + C = 6$$
$$3 + C = 6$$
따라서 적분상수 $C$는 다음과 같습니다.
$$C = 3$$
이 값을 대입하면 완벽한 $f(x)$의 식을 얻을 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 + x^2 + x + 3$$
3단계: $f(2)$의 값 계산하기
이제 우리가 구하고자 하는 $f(2)$의 값을 구하기 위해 $x = 2$를 대입합니다.
$$f(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + 3$$
각 항을 계산해 볼까요?
$$f(2) = 8 + 4 + 2 + 3$$
$$f(2) = 17$$
답
$$17$$
확인해보기
부정적분을 할 때 왜 항상 **적분상수 $C$**를 붙여야 할까요? 미분과 적분의 관계를 생각하며 그 이유를 스스로 설명해 보세요.