어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질을 이용하여 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항을 $a$, 공차(이웃한 항의 차이)를 $d$라고 할 때, 제 $n$항은 $a_n = a + (n-1)d$로 나타낼 수 있습니다.
- 연립방정식: 문제에서 주어진 두 개의 조건을 $a$와 $d$에 대한 식으로 나타낸 후, 연립하여 두 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 첫째항 $a$와 공차 $d$로 표현하기
등차수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 해봅시다. 일반항 공식 $a_n = a + (n-1)d$를 사용해 문제의 조건들을 $a$와 $d$에 대한 식으로 바꾸어 써봅니다.
첫 번째 조건 $a_3 = 6$에서:
$$a + 2d = 6 \quad \text{--- (식 1)}$$
두 번째 조건 $2a_5 - a_4 = 15$에서, $a_4 = a + 3d$이고 $a_5 = a + 4d$이므로 대입해 줍니다:
$$2(a + 4d) - (a + 3d) = 15$$
괄호를 풀어서 정리해 볼까요?
$$2a + 8d - a - 3d = 15$$
$$a + 5d = 15 \quad \text{--- (식 2)}$$
2단계: 연립방정식을 풀어 $a$와 $d$ 구하기
이제 (식 1)과 (식 2)를 연립하여 $a$와 $d$의 값을 구합니다.
(식 2)에서 (식 1)을 빼주면 $a$를 쉽게 없앨 수 있습니다.
$$(a + 5d) - (a + 2d) = 15 - 6$$
$$3d = 9$$
$$d = 3$$
공차 $d = 3$을 구했습니다! 이 값을 (식 1)에 대입하여 첫째항 $a$를 구합니다.
$$a + 2(3) = 6$$
$$a + 6 = 6$$
$$a = 0$$
따라서 이 등차수열의 첫째항은 $a = 0$, 공차는 $d = 3$입니다.
3단계: 구하고자 하는 $a_{11}$의 값 계산하기
우리가 최종적으로 구해야 하는 것은 $a_{11}$입니다. 일반항 공식에 $a = 0$, $d = 3$, $n = 11$을 대입합니다.
$$a_{11} = a + 10d$$
$$a_{11} = 0 + 10 \times 3$$
$$a_{11} = 30$$
답
$$30$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 첫째항이 $5$이고 공차가 $-2$인 등차수열 $\{a_n\}$이 있습니다. 이 수열의 제 $8$항($a_8$)의 값은 얼마일까요?