어떤 문제인가
이 문제는 주어진 3차함수의 극솟값을 이용해 미지수 $a$의 값을 구하고, 이를 바탕으로 함수의 극댓값을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 도함수와 극값의 관계: 함수 $f(x)$가 미분가능할 때, 극값을 갖는 지점에서는 도함수 $f'(x) = 0$이 됩니다.
- 도함수의 부호 변화: $f'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 바뀌면 극대, 음(-)에서 양(+)으로 바뀌면 극소가 됩니다.
- 경우의 수 나누기 (조건 분석): 미지수 $a$의 부호(양수, 음수, 0)에 따라 극대·극소가 되는 위치가 달라지므로, 이를 나누어 생각해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수를 미분하여 극값의 후보 찾기
극값을 찾기 위해 먼저 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다. 도함수가 $0$이 되는 지점이 바로 극값의 후보가 됩니다.
$$f(x) = 2x^3 - 3ax^2 + 5a$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면,
$$f'(x) = 6x^2 - 6ax$$
인수분해를 하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 6x(x - a)$$
따라서 $f'(x) = 0$을 만족하는 $x$의 값은 **$x = 0$ 또는 $x = a$**입니다.
2단계: $a$의 부호에 따라 상황 나누기
$x = 0$과 $x = a$ 중 어느 곳에서 극대이고 어느 곳에서 극소인지 알아야 합니다. 하지만 $a$가 양수인지, 음수인지, 혹은 0인지 알 수 없으므로 세 가지 경우로 나누어 생각해야 합니다.
경우 1) $a > 0$인 경우
$x = 0$과 $x = a$ 중에서 $a$가 더 큽니다. 도함수 $f'(x) = 6x(x-a)$는 아래로 볼록한 이차함수이므로, 부호 변화는 다음과 같습니다.
- $x < 0$ 일 때, $f'(x) > 0$ (증가)
- $0 < x < a$ 일 때, $f'(x) < 0$ (감소)
- $x > a$ 일 때, $f'(x) > 0$ (증가)
즉, $x = 0$에서 극대가 되고, $x = a$에서 극소가 됩니다.
문제에서 극솟값이 $a$라고 했으므로, $f(a) = a$가 성립해야 합니다.
$$f(a) = 2a^3 - 3a^3 + 5a = a$$
$$-a^3 + 5a = a$$
$$-a^3 + 4a = 0$$
$$-a(a^2 - 4) = 0$$
$$-a(a-2)(a+2) = 0$$
우리는 $a > 0$인 경우를 가정했으므로, 만족하는 값은 **$a = 2$**뿐입니다.
경우 2) $a < 0$인 경우
이때는 $a$가 $0$보다 작으므로, $x = a$에서 증가에서 감소로 바뀌어 극대가 되고, $x = 0$에서 감소에서 증가로 바뀌어 극소가 됩니다.
따라서 극솟값은 $f(0)$이 됩니다. 문제 조건에 의해 $f(0) = a$여야 합니다.
$$f(0) = 5a = a$$
$$4a = 0 \implies a = 0$$
하지만 이는 $a < 0$이라는 가정에 모순되므로, 이 경우는 성립하지 않습니다.
경우 3) $a = 0$인 경우
$a = 0$이면 $f(x) = 2x^3$이 됩니다. 이 함수는 항상 증가하는 함수이므로 극값을 갖지 않습니다. 따라서 이 경우도 성립하지 않습니다.
3단계: 극댓값 구하기
2단계의 분석을 통해 **$a = 2$**임을 알아냈습니다.
이때 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 10$$
우리가 구하고자 하는 극댓값은 $x = 0$일 때의 함숫값이므로, $f(0)$을 구하면 됩니다.
$$f(0) = 10$$
답
$$10$$
확인해보기
질문: 만약 이 문제에서 "극솟값이 $a$일 때" 대신 **"극댓값이 $5a$일 때"**라고 조건이 바뀌었다면, $a$의 값은 어떻게 변했을까요? 위 풀이의 '경우 1($a>0$)'을 참고하여 스스로 생각해보세요.