어떤 문제인가
이 문제는 주어진 이차함수 $f(x)$에 대하여, 미분계수의 정의를 이용해 특정 점에서의 순간변화율(미분계수)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 미분계수의 정의: $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$가 의미하는 것은 함수 $f(x)$의 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$입니다.
- 다항함수의 미분법: 도함수 공식($(x^n)' = n x^{n-1}$)을 이용하면 극한 계산을 거치지 않고도 빠르게 미분계수를 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
이 문제는 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. 개념을 확실히 다지기 위해 두 방법 모두 알아봅시다!
방법 1: 미분계수의 정의를 이용한 직접 계산 (정석대로 풀기)
가장 기본이 되는 방법으로, 식에 직접 대입하여 극한값을 구하는 방법입니다.
1단계: $f(4+h)$와 $f(4)$의 값 구하기
먼저 분자에 있는 두 식을 각각 계산해 봅시다. 함수가 $f(x) = x^2 - 4x + 2$이므로, $x$ 자리에 각각 $4+h$와 $4$를 대입합니다.
- $f(4)$ 구하기:
$$f(4) = 4^2 - 4(4) + 2 = 16 - 16 + 2 = 2$$
- $f(4+h)$ 구하기:
$$f(4+h) = (4+h)^2 - 4(4+h) + 2$$
괄호를 전개해 정리해 볼까요?
$$f(4+h) = (16 + 8h + h^2) - (16 + 4h) + 2 = h^2 + 4h + 2$$
2단계: 분자 계산하고 $h$로 나누기
이제 분자 식 $f(4+h) - f(4)$를 계산합니다.
$$f(4+h) - f(4) = (h^2 + 4h + 2) - 2 = h^2 + 4h$$
이 식을 분모인 $h$로 나누어 줍니다. ($h \to 0$이므로 $h \neq 0$이라서 나눌 수 있습니다.)
$$\frac{f(4+h) - f(4)}{h} = \frac{h^2 + 4h}{h} = \frac{h(h+4)}{h} = h+4$$
3단계: 극한값 구하기
이제 $h$를 $0$으로 보내는 극한을 취합니다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h \to 0} (h+4) = 4$$
방법 2: 미분공식 이용하기 (빠르게 풀기)
시험을 볼 때는 이 방법이 훨씬 빠르고 유용합니다.
1단계: 구하고자 하는 식의 의미 파악하기
문제에서 요구한 식은 미분계수의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(4+h)-f(4)}{h} = f'(4)$$
즉, 우리는 $f'(4)$의 값만 구하면 됩니다.
2단계: 도함수 $f'(x)$ 구하기
함수 $f(x) = x^2 - 4x + 2$를 미분공식을 이용해 미분합니다.
$$f'(x) = 2x - 4$$
3단계: $x=4$ 대입하기
구한 도함수에 $x=4$를 대입하여 $f'(4)$를 구합니다.
$$f'(4) = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4$$
두 방법 모두 결과가 $4$로 똑같이 나오는 것을 확인할 수 있습니다!
답
정답은 ④ 4 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 함수 $g(x) = 2x^2 - 3x$에 대하여, 다음 극한값은 얼마일까요?
> $$\lim_{h \to 0} \frac{g(1+h)-g(1)}{h}$$
> (힌트: 이 식은 $g'(1)$을 의미합니다. 위에서 배운 두 가지 방법 중 편한 방법을 사용해 직접 구해보세요!)