어떤 문제인가
이 문제는 원에 내접하는 사각형의 성질을 이용해 닮은 삼각형을 찾고, 삼각비와 사인법칙을 활용하여 외접원의 반지름을 구하는 문제입니다. 우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원에 내접하는 사각형의 성질: 한 외각의 크기는 그와 이웃한 내각의 대각(대내각)의 크기와 같습니다. 이 성질로 삼각형의 닮음을 찾아낼 수 있습니다.
- 닮음비와 비례식: 닮은 두 삼각형의 대응변의 길이 비는 일정합니다.
- 사인법칙: 삼각형의 한 변의 길이와 그 대각의 사인값, 그리고 외접원의 반지름 $R$ 사이에는 $2R = \frac{a}{\sin A}$라는 관계가 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: (가) 구하기 — 닮음비를 이용해 $l$과 $k$의 관계식 세우기
먼저 사각형 $\text{ABCD}$가 원에 내접하고 있으므로, 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 다음이 성립합니다.
- $\angle\text{PAD} = \angle\text{PCB}$
- $\angle\text{PDA} = \angle\text{PBC}$
두 삼각형 $\text{BPC}$와 $\text{DPA}$는 $\angle\text{P}$를 공통으로 가지고 있고, 나머지 두 각의 크기도 같으므로 $\text{AA}$ 닮음입니다.
$$\triangle\text{BPC} \sim \triangle\text{DPA}$$
닮은 삼각형의 대응변의 길이 비는 같으므로 다음과 같은 비례식을 세울 수 있습니다.
$$\overline{\text{PB}} : \overline{\text{PC}} = \overline{\text{PD}} : \overline{\text{PA}}$$
문제에서 주어진 조건들을 대입해 봅시다.
- $\overline{\text{PB}} = 7k$, $\overline{\text{PC}} = 5k$
- $\overline{\text{PA}} = \overline{\text{PB}} + \overline{\text{AB}} = 7k + l$
- $\overline{\text{PD}} = \overline{\text{PC}} + \overline{\text{CD}} = 5k + 3l$
이 값들을 비례식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$7k : 5k = (5k + 3l) : (7k + l)$$
비례식의 성질(외항의 곱은 내항의 곱과 같다)을 이용해 식을 정리해 봅시다. $k \neq 0$이므로 양변을 $k$로 나누어 $7:5$로 간단히 한 뒤 계산합니다.
$$7(7k + l) = 5(5k + 3l)$$
$$49k + 7l = 25k + 15l$$
$k$는 왼쪽으로, $l$은 오른쪽으로 모아서 정리해 볼까요?
$$24k = 8l$$
$$l = 3k$$
따라서 $l = \boxed{3} \times k$가 되므로, (가)에 알맞은 수 $p = 3$입니다.
2단계: (나) 구하기 — 두 삼각형의 닮음비 구하기
이제 $l = 3k$라는 것을 알았으니, 큰 삼각형 $\text{DPA}$의 변의 길이를 $k$로만 나타낼 수 있습니다.
$$\overline{\text{PD}} = 5k + 3l = 5k + 3(3k) = 14k$$
작은 삼각형 $\text{BPC}$의 변 $\overline{\text{PB}}$의 길이는 $7k$였습니다.
따라서 두 닮은 삼각형 $\text{BPC}$와 $\text{DPA}$의 닮음비는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{PB}} : \overline{\text{PD}} = 7k : 14k = 1 : 2$$
닮음비가 $1 : 2$이므로, 대응변인 $\overline{\text{BC}}$와 $\overline{\text{AD}}$의 길이 비도 $1 : 2$가 됩니다. 즉,
$$\overline{\text{BC}} = \frac{1}{\boxed{2}} \times \overline{\text{AD}}$$
따라서 (나)에 알맞은 수 $q = 2$입니다.
3단계: (다) 구하기 — 사인법칙으로 외접원의 반지름 $R$ 구하기
문제에서 $\overline{\text{AD}} = 4\sqrt{13}$이라고 주어졌습니다. 2단계에서 구한 닮음비를 이용하면 $\overline{\text{BC}}$의 길이를 구할 수 있습니다.
$$\overline{\text{BC}} = \frac{1}{2} \times \overline{\text{AD}} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{13} = 2\sqrt{13}$$
이제 삼각형 $\text{BPC}$에서 사인법칙을 적용하여 외접원의 반지름 $R$을 구할 차례입니다. 사인법칙 공식은 다음과 같습니다.
$$2R = \frac{\overline{\text{BC}}}{\sin\theta} \implies R = \frac{\overline{\text{BC}}}{2\sin\theta}$$
우리는 $\cos\theta = \frac{6}{7}$이라는 것을 알고 있습니다. 삼각함수의 성질 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용해 $\sin\theta$를 구해봅시다. ($\theta$는 삼각형의 한 내각이므로 $\sin\theta > 0$입니다.)
$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{6}{7}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{36}{49}} = \sqrt{\frac{13}{49}} = \frac{\sqrt{13}}{7}$$
이제 구한 값들을 반지름 공식에 대입해 봅시다.
$$R = \frac{2\sqrt{13}}{2 \times \frac{\sqrt{13}}{7}} = \frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{13}}{7}} = 7$$
따라서 삼각형 $\text{BPC}$의 외접원의 반지름의 길이 $R = \boxed{7}$이 되므로, (다)에 알맞은 수 $r = 7$입니다.
4단계: 최종 답 구하기
우리가 구한 세 수 $p, q, r$은 다음과 같습니다.
- $p = 3$
- $q = 2$
- $r = 7$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q + r = 3 + 2 + 7 = 12$$
답
$$12$$
확인해보기
풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다.
> 질문: 만약 사각형 $\text{ABCD}$가 원에 내접하지 않는 일반적인 사각형이라면, 왜 $\triangle\text{BPC}$와 $\triangle\text{DPA}$가 닮음이라고 할 수 없을까요? 원에 내접하는 사각형만의 어떤 특별한 각의 성질 때문인지 설명해 보세요.