어떤 문제인가
이 문제는 주어진 부등식 조건을 만족하는 삼차함수 $f(x)$를 구하고, 그 도함수의 특정 값인 $f'(10)$을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 다항함수의 식 세우기: 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수를 일반화하여 식을 세웁니다.
- 부등식의 성질과 극한: 모든 실수 $x$에 대해 성립하는 부등식에서, 특정 값을 대입하거나 극한을 취해 계수 사이의 관계를 찾아냅니다.
- 완전제곱식과 부등식의 성립 조건: 실수의 제곱은 항상 $0$ 이상이라는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼차함수 $f(x)$를 식 설정하고 부등식에 대입하기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 다음과 같이 설정합시다. (단, $a, b, c$는 상수)
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$
이 식을 미분하면 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
이제 문제에 주어진 부등식의 각 항을 $f(x)$와 $f'(x)$를 이용해 정리해 봅시다.
- 좌변:
$$\frac{f'(x)}{2} + x^2 - 2 = \frac{3x^2 + 2ax + b}{2} + x^2 - 2 = \frac{5}{2}x^2 + ax + \frac{b}{2} - 2$$
- 우변(가운데 식):
$$\frac{f(2x) - f(0)}{2x} = \frac{(8x^3 + 4ax^2 + 2bx + c) - c}{2x} = \frac{8x^3 + 4ax^2 + 2bx}{2x} = 4x^2 + 2ax + b \quad (x \neq 0)$$
이제 이 식들을 원래의 부등식에 대입하면, $0$이 아닌 모든 실수 $x$에 대하여 다음이 성립합니다.
$$\frac{5}{2}x^2 + ax + \frac{b}{2} - 2 \le 4x^2 + 2ax + b \le x^4$$
2단계: 부등식을 두 부분으로 나누어 정리하기
위 연립부등식을 두 개의 부등식 (A)와 (B)로 나누어 생각합시다.
(A) 왼쪽 부등식:
$$\frac{5}{2}x^2 + ax + \frac{b}{2} - 2 \le 4x^2 + 2ax + b$$
우변으로 모두 이항하여 정리하면:
$$0 \le \frac{3}{2}x^2 + ax + \frac{b}{2} + 2 \quad \cdots \text{ (A)}$$
(B) 오른쪽 부등식:
$$4x^2 + 2ax + b \le x^4$$
우변으로 모두 이항하여 정리하면:
$$0 \le x^4 - 4x^2 - 2ax - b \quad \cdots \text{ (B)}$$
이 두 부등식은 $x \neq 0$인 모든 실수에서 성립해야 하며, 다항식의 연속성에 의해 $x = 0$일 때도 성립해야 합니다.
3단계: $x \to 0$일 때의 극한을 이용하여 $b$의 범위 구하기
부등식 (A)와 (B)에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
- (A)에 $x=0$을 대입하면:
$$0 \le \frac{b}{2} + 2 \implies b \ge -4$$
- (B)에 $x=0$을 대입하면:
$$0 \le -b \implies b \le 0$$
따라서 상수 $b$의 범위는 다음과 같습니다.
$$-4 \le b \le 0$$
4단계: 특정 $x$ 값을 대입하여 $a$와 $b$ 결정하기 (핵심 단계)
부등식 (B)인 $x^4 - 4x^2 - 2ax - b \ge 0$가 모든 실수 $x$에 대해 성립해야 합니다.
이 식에 $x = \sqrt{2}$와 $x = -\sqrt{2}$를 각각 대입해 봅시다. (이 값들을 대입하면 $x^4 - 4x^2$ 부분이 $4 - 8 = -4$가 되어 식이 매우 단순해집니다.)
- **$x = \sqrt{2}$ 대입:**
$$(\sqrt{2})^4 - 4(\sqrt{2})^2 - 2a\sqrt{2} - b \ge 0$$
$$4 - 8 - 2\sqrt{2}a - b \ge 0 \implies b \le -4 - 2\sqrt{2}a \quad \cdots \text{①}$$
- **$x = -\sqrt{2}$ 대입:**
$$(-\sqrt{2})^4 - 4(-\sqrt{2})^2 - 2a(-\sqrt{2}) - b \ge 0$$
$$4 - 8 + 2\sqrt{2}a - b \ge 0 \implies b \le -4 + 2\sqrt{2}a \quad \cdots \text{②}$$
①과 ②를 동시에 만족하려면, $b$는 $-4 - 2\sqrt{2}a$와 $-4 + 2\sqrt{2}a$ 중 더 작은 값보다도 작거나 같아야 합니다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$b \le -4 - 2\sqrt{2}|a|$$
그런데 3단계에서 우리는 $b \ge -4$라는 조건을 얻었습니다. 이 두 범위를 합치면 다음과 같습니다.
$$-4 \le b \le -4 - 2\sqrt{2}|a|$$
이 부등식이 성립하려면 우변의 $-2\sqrt{2}|a|$가 $0$ 이상이어야 하는데, 실수의 절대값은 항상 $0$ 이상이므로 이 식은 $|a| = 0$일 때만 성립할 수 있습니다.
따라서 **$a = 0$ 이며, 이에 따라 $b = -4$** 가 됩니다.
5단계: $f'(10)$의 값 구하기
구한 $a = 0, b = -4$를 도함수 $f'(x)$에 대입합니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 4$$
최종적으로 구하고자 하는 $f'(10)$의 값은 다음과 같습니다.
$$f'(10) = 3(10)^2 - 4 = 300 - 4 = 296$$
답
$$296$$
확인해보기
실수 전체에서 성립하는 부등식 $px^2 + qx \ge 0$이 있습니다. 이 부등식이 모든 실수 $x$에 대해 항상 참이 되려면, 일차항의 계수 $q$는 반드시 $0$이어야 합니다. 그 이유는 무엇일까요? 그래프의 모양을 떠올리며 스스로 설명해 보세요.