어떤 문제인가
이 문제는 로그함수 그래프 위의 두 점과 도형의 대칭이동, 수선의 발 등의 기하학적 성질을 결합한 복합 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 직선의 방정식과 기울기: 수직인 두 직선의 기울기의 곱은 $-1$이라는 성질을 이용해 수선의 방정식과 대칭이동한 점을 지나는 직선의 방정식을 구합니다.
- 좌표의 대칭이동: 점 $(x, y)$를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동하면 $x$좌표와 $y$좌표가 서로 바뀐 $(y, x)$가 됩니다.
- 사다리꼴의 넓이: 사각형 $APQB$가 한 쌍의 대변이 평행한 사다리꼴임을 파악하고, 평행한 두 변의 길이와 높이(두 평행선 사이의 거리)를 이용해 넓이를 구합니다.
단계별 풀이
1. 두 점 $A, B$의 좌표 설정하기
곡선 $y = \log_2 x$ 위의 서로 다른 두 점 $A, B$의 $x$좌표를 각각 $a, b$라고 합시다. (편의상 $a > b$라고 가정하겠습니다.)
그러면 두 점의 좌표는 다음과 같습니다.
$$A(a, \log_2 a), \quad B(b, \log_2 b)$$
2. 조건 (가)를 이용하여 식 세우기
- **직선 $AP$의 $y$절편 구하기**
점 $P$는 점 $A$에서 직선 $y=x$에 내린 수선의 발입니다. 따라서 직선 $AP$는 직선 $y=x$와 수직이므로 기울기가 $-1$입니다.
기울기가 $-1$이고 점 $A(a, \log_2 a)$를 지나는 직선 $AP$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - \log_2 a = -1(x - a) \implies y = -x + a + \log_2 a$$
따라서 **직선 $AP$의 $y$절편**은 $a + \log_2 a$ 입니다.
- **직선 $BQ$의 $y$절편 구하기**
점 $Q$는 점 $B(b, \log_2 b)$를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 점이므로, $Q(\log_2 b, b)$입니다.
선분 $BQ$는 직선 $y=x$에 의해 수직이등분되므로, 직선 $BQ$ 역시 직선 $y=x$와 수직입니다. 즉, 기울기가 $-1$입니다.
기울기가 $-1$이고 점 $B(b, \log_2 b)$를 지나는 직선 $BQ$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - \log_2 b = -1(x - b) \implies y = -x + b + \log_2 b$$
따라서 **직선 $BQ$의 $y$절편**은 $b + \log_2 b$ 입니다.
- 조건 (가) 적용하기
$$(\text{직선 } AP\text{의 } y\text{절편}) - (\text{직선 } BQ\text{의 } y\text{절편}) = \frac{13}{2}$$
$$(a + \log_2 a) - (b + \log_2 b) = \frac{13}{2}$$
이를 정리하면 다음과 같은 첫 번째 식을 얻습니다.
$$(a - b) + (\log_2 a - \log_2 b) = \frac{13}{2} \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
3. 조건 (나)를 이용하여 식 세우기
직선 $AB$의 기울기가 $\frac{6}{7}$이므로, 기울기 공식을 쓰면 다음과 같습니다.
$$\frac{\log_2 a - \log_2 b}{a - b} = \frac{6}{7} \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
4. 연립방정식 풀어 $a, b$ 구하기
계산을 간단하게 하기 위해 치환을 해봅시다.
$$a - b = X, \quad \log_2 a - \log_2 b = Y \quad (X > 0, Y > 0)$$
라 하면, 식 1과 식 2는 다음과 같이 바뀝니다.
$$\text{(식 1)}: X + Y = \frac{13}{2}$$
$$\text{(식 2)}: \frac{Y}{X} = \frac{6}{7} \implies Y = \frac{6}{7}X$$
$Y = \frac{6}{7}X$를 식 1에 대입하면,
$$X + \frac{6}{7}X = \frac{13}{2} \implies \frac{13}{7}X = \frac{13}{2} \implies X = \frac{7}{2}$$
이를 통해 $Y$의 값도 구할 수 있습니다.
$$Y = \frac{6}{7} \times \frac{7}{2} = 3$$
이제 원래 변수로 되돌려 놓습니다.
- $\log_2 a - \log_2 b = 3 \implies \log_2 \left(\frac{a}{b}\right) = 3 \implies \frac{a}{b} = 8 \implies a = 8b$
- $a - b = \frac{7}{2} \implies 8b - b = \frac{7}{2} \implies 7b = \frac{7}{2} \implies b = \frac{1}{2}$
따라서 $b = \frac{1}{2}$ 이고, $a = 4$ 입니다.
5. 네 점 $A, B, P, Q$의 구체적인 좌표 구하기
구한 $a, b$ 값을 대입하여 네 점의 좌표를 완성합니다.
- $A(4, 2)$
- $B\left(\frac{1}{2}, -1\right)$
- $P$ 구하기: 직선 $AP$의 방정식은 $y = -x + 6$ 이고, 이 직선이 $y=x$와 만나는 점이므로 $2x = 6 \implies x=3$. 따라서 $P(3, 3)$ 입니다.
- $Q$ 구하기: 점 $B\left(\frac{1}{2}, -1\right)$를 $y=x$에 대칭이동한 점이므로 $Q\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 입니다.
6. 사각형 $APQB$의 넓이 구하기
직선 $AP$와 직선 $BQ$는 모두 기울기가 $-1$로 서로 평행합니다. 따라서 사각형 $APQB$는 사다리꼴입니다!
- **윗변 $AP$의 길이**:
$$AP = \sqrt{(4-3)^2 + (2-3)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$$
- **아랫변 $BQ$의 길이**:
$$BQ = \sqrt{\left(\frac{1}{2} - (-1)\right)^2 + \left(-1 - \frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$
- **높이 $h$ (두 평행선 사이의 거리)**:
직선 $AP$의 방정식은 $x + y - 6 = 0$ 이고,
직선 $BQ$의 방정식은 $x + y + \frac{1}{2} = 0$ 입니다.
두 평행선 사이의 거리 공식 $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$를 사용하면,
$$h = \frac{\left|-6 - \frac{1}{2}\right|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\frac{13}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{13}{2\sqrt{2}}$$
- **사다리꼴의 넓이 $S$**:
$$S = \frac{1}{2} \times (AP + BQ) \times h$$
$$S = \frac{1}{2} \times \left(\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \times \frac{13}{2\sqrt{2}}$$
$$S = \frac{1}{2} \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{13}{2\sqrt{2}} = \frac{65}{8}$$
따라서 사각형의 넓이는 $\frac{65}{8}$ 이며, 서로소인 두 자연수 $p, q$에 대해 $p=8, q=65$ 입니다.
답
$$p+q = 8 + 65 = 73$$
확인해보기
질문: 점 $B(b, \log_2 b)$를 직선 $y=x$에 대해 대칭이동한 점 $Q$의 좌표가 $(\log_2 b, b)$가 되는 기하학적 이유를, 함수와 역함수의 관계를 생각하며 스스로 설명해 볼까요?