어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 기본 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 분배법칙 (합과 차): $\sum (x_k \pm y_k) = \sum x_k \pm \sum y_k$
- 시그마와 상수배: $\sum c \cdot a_k = c \sum a_k$ (단, $c$는 상수)
- 상수만 있는 시그마: $\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$ (상수 $c$를 $n$번 더한다는 의미)
단계별 풀이
1단계: 주어진 식을 시그마의 성질을 이용해 분리하기
문제에서 주어진 식은 다음과 같습니다.
$$ \sum_{k=1}^{6} (2a_k - 1) = 30 $$
시그마 기호 안의 뺄셈을 기준으로 식을 두 개의 시그마로 나누어 써 봅시다.
$$ \sum_{k=1}^{6} 2a_k - \sum_{k=1}^{6} 1 = 30 $$
2단계: 각 시그마 식을 간단하게 정리하기
이제 분리한 두 식을 시그마의 성질을 이용해 더 간단하게 만들어 봅시다.
- **첫 번째 부분 ($\sum_{k=1}^{6} 2a_k$)**:
상수 $2$는 시그마 앞으로 나갈 수 있습니다.
$$ \sum_{k=1}^{6} 2a_k = 2 \sum_{k=1}^{6} a_k $$
- **두 번째 부분 ($\sum_{k=1}^{6} 1$)**:
이것은 숫자 $1$을 $k=1$부터 $6$까지 총 6번 더하라는 뜻입니다. 즉, $1 \times 6$과 같습니다.
$$ \sum_{k=1}^{6} 1 = 1 \times 6 = 6 $$
이 두 결과를 원래 식에 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$ 2 \sum_{k=1}^{6} a_k - 6 = 30 $$
3단계: 우리가 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구하고 싶은 값은 $\sum_{k=1}^{6} a_k$입니다. 이 값을 편의상 $S$라고 두고 일차방정식을 풀어봅시다.
$$ 2S - 6 = 30 $$
양변에 $6$을 더합니다.
$$ 2S = 36 $$
양변을 $2$로 나눕니다.
$$ S = 18 $$
따라서, 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$ \sum_{k=1}^{6} a_k = 18 $$
답
⑤ 18
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> 수열 $\{b_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{5} (3b_k + 2) = 25$ 일 때, $\sum_{k=1}^{5} b_k$의 값은 얼마일까요?