어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수의 그래프를 보고, 특정 값에서의 좌극한과 우극한을 구하여 그 합을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **좌극한 ($\lim_{x \to a-} f(x)$):** $x$가 $a$보다 작은 값(왼쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- **우극한 ($\lim_{x \to a+} f(x)$):** $x$가 $a$보다 큰 값(오른쪽)에서 $a$에 한없이 가까워질 때, 함숫값 $f(x)$가 가까워지는 값입니다.
- 극한값과 함숫값의 차이: 극한값은 그 지점에서의 실제 함숫값(색칠된 점)이 아니라, 그래프가 어디를 향해 가고 있는지(목표치)를 나타냅니다. 따라서 열린 점(빈 동그라미)으로 향하더라도 그 목표치가 극한값이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 항 $\lim_{x \to 0-} f(x)$ 구하기
이 식은 **"$x$가 $0$의 왼쪽(음수 방향)에서 $0$을 향해 갈 때, $f(x)$는 어떤 값에 가까워지는가?"**를 묻고 있습니다.
- 그래프에서 $x < 0$인 영역(즉, $y$축의 왼쪽)을 봅시다.
- $x$의 값을 $-2$에서부터 $0$에 가깝게 이동시키면서 그래프의 움직임을 따라가 봅니다.
- 그래프는 점 $(-2, 3)$에서 시작하여 아래로 내려가며, $x$가 $0$에 한없이 가까워질 때 $y$값은 빈 동그라미인 $(0, -1)$을 향해 다가갑니다.
- 비록 $x=0$에서 실제 함숫값은 $f(0)=2$로 다른 곳에 찍혀 있지만, 왼쪽에서 다가갈 때의 목표값은 $-1$입니다.
따라서,
$$\lim_{x \to 0-} f(x) = -1$$
입니다.
2단계: 두 번째 항 $\lim_{x \to 1+} f(x)$ 구하기
이 식은 **"$x$가 $1$의 오른쪽(큰 값)에서 $1$을 향해 갈 때, $f(x)$는 어떤 값에 가까워지는가?"**를 묻고 있습니다.
- 그래프에서 $x > 1$인 영역(즉, $x=1$의 오른쪽)을 봅시다.
- $x$의 값을 $2$에서부터 왼쪽으로 이동시켜 $1$에 가깝게 만들어 봅니다.
- 그래프는 점 $(2, 3)$에서 시작하여 왼쪽 아래로 내려가며, $x$가 $1$에 한없이 가까워질 때 $y$값은 빈 동그라미인 $(1, 2)$를 향해 다가갑니다.
- 따라서 오른쪽에서 다가갈 때의 목표값은 $2$입니다.
따라서,
$$\lim_{x \to 1+} f(x) = 2$$
입니다.
3단계: 두 극한값 더하기
이제 구한 두 값을 더해줍니다.
$$\lim_{x \to 0-} f(x) + \lim_{x \to 1+} f(x) = (-1) + 2 = 1$$
답
① 1
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문] 위 그래프에서 $\lim_{x \to 0+} f(x) + f(0)$의 값은 무엇일까요?
> *(힌트: $x \to 0+$는 $0$의 오른쪽에서 다가갈 때의 목표값이고, $f(0)$은 $x=0$일 때 색칠된 점의 $y$값입니다.)*