어떤 문제인가
이 문제는 주어진 다항함수 $f(x)$의 미분계수 $f'(1)$을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 곱의 미분법: 두 함수가 곱해진 형태인 $y = g(x)h(x)$를 미분할 때는 각각을 번갈아 미분하여 더합니다. 즉, $y' = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$ 입니다.
- 다항함수의 미분: $x^n$을 미분하면 $n x^{n-1}$이 된다는 기본 공식을 활용합니다.
- 미분계수의 계산: 도함수 $f'(x)$를 구한 뒤, $x$ 자리에 $1$을 대입하여 최종 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 곱의 미분법 공식 적용하기
함수 $f(x) = (x^2 + 2)(x^2 + x - 3)$는 두 식 $g(x) = x^2 + 2$와 $h(x) = x^2 + x - 3$의 곱으로 이루어져 있습니다.
곱의 미분법 공식인 $f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)$를 사용하기 위해, 먼저 각 부분을 미분해 봅시다.
- 앞의 식 미분:
$$(x^2 + 2)' = 2x$$
- 뒤의 식 미분:
$$(x^2 + x - 3)' = 2x + 1$$
2단계: 도함수 $f'(x)$ 식 세우기
이제 구한 미분값들을 곱의 미분법 공식에 대입하여 $f'(x)$를 나타내 봅니다. (식을 굳이 다 전개할 필요는 없어요. 우리는 $x=1$만 대입하면 되니까요!)
$$f'(x) = (2x)(x^2 + x - 3) + (x^2 + 2)(2x + 1)$$
3단계: $x = 1$ 대입하여 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 $f'(1)$이므로, 위에서 구한 $f'(x)$ 식의 $x$ 자리에 모두 $1$을 대입합니다.
$$f'(1) = (2 \cdot 1)(1^2 + 1 - 3) + (1^2 + 2)(2 \cdot 1 + 1)$$
각 괄호 안을 천천히 계산해 볼까요?
- 첫 번째 항: $2 \cdot (1 + 1 - 3) = 2 \cdot (-1) = -2$
- 두 번째 항: $(1 + 2) \cdot (2 + 1) = 3 \cdot 3 = 9$
이 두 값을 더합니다.
$$f'(1) = -2 + 9 = 7$$
답
**② $7$**
확인해보기
오늘 배운 곱의 미분법을 잘 이해했는지 다음 문제를 통해 스스로 확인해 보세요!
> 질문: 함수 $g(x) = (x + 1)(x^2 - 3)$에 대하여 $g'(2)$의 값은 무엇일까요?