어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수의 조건들을 활용하여 $\sin\theta$의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 삼각함수의 각 변환 공식: 복잡하게 표현된 각 $(\theta - \pi)$를 단순한 $\theta$에 대한 식으로 바꾸는 방법입니다.
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: 각 $\theta$가 몇 사분면에 있느냐에 따라 $\sin, \cos, \tan$의 부호가 어떻게 결정되는지 이해해야 합니다.
- 삼각함수의 기본 관계식: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ 공식을 이용해 하나의 삼각함수 값으로 다른 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 각 변환을 통해 $\cos\theta$의 값 구하기
먼저 주어진 식 $\cos(\theta - \pi) = \frac{3}{5}$를 정리해 봅시다.
코사인 함수는 우함수이므로 $\cos(-x) = \cos(x)$가 성립합니다. 즉, 각의 부호를 반대로 바꾸어도 값은 같습니다.
$$\cos(\theta - \pi) = \cos(-(\pi - \theta)) = \cos(\pi - \theta)$$
이제 각 변환 공식을 적용해 볼까요? $\pi(180^\circ)$에서 $\theta$만큼 뺀 각은 제2사분면에 위치하므로, 코사인의 부호는 음수(-)가 됩니다.
$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$$
따라서 문제의 조건은 다음과 같이 정리됩니다.
$$-\cos\theta = \frac{3}{5} \implies \cos\theta = -\frac{3}{5}$$
2단계: $\theta$가 몇 사분면의 각인지 확인하고 $\sin\theta$의 부호 결정하기
우리는 위에서 $\cos\theta = -\frac{3}{5} < 0$ (음수)라는 것을 알아냈습니다.
또한, 문제에서 $\tan\theta < 0$ (음수)라고 주어졌습니다.
사분면별 삼각함수의 부호를 떠올려 봅시다.
- 제1사분면: 모두 양수 (All)
- 제2사분면: $\sin$만 양수 (Sin)
- 제3사분면: $\tan$만 양수 (Tan)
- 제4사분면: $\cos$만 양수 (Cos)
$\cos\theta$와 $\tan\theta$가 모두 음수인 사분면은 어디일까요? 바로 제2사분면입니다.
제2사분면에서 $\sin\theta$의 부호는 양수(+)입니다. 즉, $\sin\theta > 0$입니다.
3단계: 삼각함수 사이의 관계식을 이용해 $\sin\theta$ 구하기
삼각함수의 가장 기본적이고 중요한 공식인 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용합니다.
$$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$$
$$\sin^2\theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2$$
$$\sin^2\theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$
2단계에서 $\sin\theta > 0$임을 확인했으므로, 제곱근 중 양수의 값을 선택합니다.
$$\sin\theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
답
⑤ $\frac{4}{5}$
확인해보기
만약 문제의 조건 중에서 $\tan\theta < 0$ 대신 **$\tan\theta > 0$**으로 바뀌어 주어졌다면, $\sin\theta$의 값은 어떻게 변했을지 스스로 생각해 보세요.