어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수 곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 그 접선이 다른 특정 점을 지날 때 미지수의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수와 접선의 기울기: 곡선 $y = f(x)$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 기울기는 $x = x_1$에서의 미분계수 $f'(x_1)$과 같습니다.
- 접선의 방정식: 기울기가 $m$이고 점 $(x_1, y_1)$을 지나는 직선의 방정식은 $y - y_1 = m(x - x_1)$입니다.
- 직선 위의 점: 직선이 점 $(p, q)$를 지난다면, 직선의 방정식에 $x = p, y = q$를 대입했을 때 등식이 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 곡선의 함수를 미분하여 도함수 구하기
접선의 기울기를 알기 위해서는 먼저 주어진 함수의 도함수(미분한 함수)를 구해야 합니다.
주어진 곡선의 식을 $f(x)$라고 놓겠습니다.
$$f(x) = x^3 - 5x^2 + 6x$$
이 함수를 $x$에 대해 미분하여 도함수 $f'(x)$를 구합니다. (다항함수의 미분법을 적용합니다.)
$$f'(x) = 3x^2 - 10x + 6$$
2단계: 접점 $(3, 0)$에서의 접선의 기울기 구하기
우리가 구하고자 하는 접선은 곡선 위의 점 $(3, 0)$에서의 접선입니다. 따라서 이 접선의 기울기는 $x = 3$에서의 미분계수인 $f'(3)$의 값과 같습니다.
앞서 구한 도함수 $f'(x)$에 $x = 3$을 대입해 봅시다.
$$f'(3) = 3 \cdot (3)^2 - 10 \cdot 3 + 6$$
$$f'(3) = 27 - 30 + 6 = 3$$
따라서 접선의 기울기는 **$3$**입니다.
3단계: 접선의 방정식 세우기
이제 기울기가 $3$이고, 접점 $(3, 0)$을 지나는 직선의 방정식을 세워봅시다.
직선의 방정식 공식 $y - y_1 = m(x - x_1)$에 기울기 $m = 3$과 점 $(3, 0)$을 대입합니다.
$$y - 0 = 3(x - 3)$$
정리하면 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = 3x - 9$$
4단계: 점 $(5, a)$를 대입하여 $a$의 값 구하기
이 접선이 점 $(5, a)$를 지난다고 했으므로, 접선의 방정식에 $x = 5$, $y = a$를 대입하면 식이 성립해야 합니다.
$$a = 3 \cdot 5 - 9$$
$$a = 15 - 9$$
$$a = 6$$
따라서 우리가 구하고자 하는 $a$의 값은 $6$입니다.
답
**① $6$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 곡선 $y = x^2 - 2x$ 위의 점 $(2, 0)$에서의 접선의 기울기는 얼마일까요? 그리고 이 접선의 방정식은 어떻게 될까요? (직접 연습장에 풀며 단계를 따라가 보세요.)