어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 주어진 두 식을 정리하고, 연립방정식을 풀어 두 양수 $a, b$의 곱을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 로그의 밑 공식: 밑의 지수는 로그 앞으로 나갈 때 분모로 갑니다. ($\log_{x^n} y = \frac{1}{n} \log_x y$)
- 로그의 진수 지수 공식: 진수의 지수는 로그 앞으로 나갈 때 분자로 곱해집니다. ($\log_x y^m = m \log_x y$)
- 치환을 이용한 연립방정식 풀이: 복잡한 로그 식을 간단한 문자($X, Y$)로 치환하여 일차연립방정식으로 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 로그의 밑을 $2$로 통일하여 식 정리하기
로그 계산을 쉽게 하려면 먼저 '밑'을 같게 만들어 주어야 합니다. 두 식의 밑을 모두 $2$로 통일해 봅시다.
첫 번째 식에서 $\sqrt{2}$는 $2^{\frac{1}{2}}$과 같습니다. 로그의 성질을 이용해 식을 정리해 볼까요?
$$\log_{\sqrt{2}} a = \log_{2^{\frac{1}{2}}} a = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_2 a = 2 \log_2 a$$
따라서 첫 번째 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$2 \log_2 a + \log_2 b = 2 \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
두 번째 식에서 진수의 지수 $2$를 로그 앞으로 보냅니다.
$$\log_2 b^2 = 2 \log_2 b$$
따라서 두 번째 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\log_2 a + 2 \log_2 b = 7 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
2단계: 치환하여 연립방정식 만들기
식이 훨씬 깔끔해졌죠? 이제 더 계산하기 편하도록 치환을 해봅시다.
$\log_2 a = X$, $\log_2 b = Y$라고 해볼게요.
그러면 우리가 구한 두 식은 다음과 같은 일차연립방정식이 됩니다.
$$\begin{cases} 2X + Y = 2 \quad \cdots \text{ (식 1)} \\ X + 2Y = 7 \quad \cdots \text{ (식 2)} \end{cases}$$
3단계: 연립방정식 풀기
중학교 때 배운 가감법이나 대입법을 사용해 $X$와 $Y$의 값을 구해봅시다.
(식 1)에서 $Y$에 대해 정리하면:
$$Y = 2 - 2X$$
이것을 (식 2)에 대입해 줍니다:
$$X + 2(2 - 2X) = 7$$
$$X + 4 - 4X = 7$$
$$-3X = 3$$
$$X = -1$$
구한 $X = -1$을 $Y = 2 - 2X$에 대입하면:
$$Y = 2 - 2(-1) = 4$$
따라서 $X = -1$, $Y = 4$입니다.
4단계: 원래 값으로 되돌려 $a \times b$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 $a \times b$입니다. 치환했던 것을 원래대로 돌려놓읍시다.
$$\log_2 a = -1 \implies a = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$
$$\log_2 b = 4 \implies b = 2^4 = 16$$
따라서 $a \times b$의 값은 다음과 같습니다.
$$a \times b = \frac{1}{2} \times 16 = 8$$
> [풀이 팁!]
> 로그의 성질($\log_2 a + \log_2 b = \log_2 (ab)$)을 이용하면 $a$와 $b$를 따로 구하지 않고도 바로 답을 낼 수 있어요!
> $$\log_2 (ab) = X + Y = -1 + 4 = 3$$
> 따라서 $ab = 2^3 = 8$이 됩니다. 정말 빠르고 멋진 방법이죠?
답
정답은 ③ 8 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> 질문: 두 양수 $x, y$가 다음 식을 만족할 때, $x \times y$의 값은 얼마일까요?
> $$\log_3 x + \log_9 y = 2, \quad \log_9 x + \log_3 y = 4$$