어떤 문제인가
이 문제는 부정적분과 미분의 관계를 이해하고, 복잡해 보이는 두 함수 사이의 관계를 간단한 하나의 함수로 바꾸어 해결하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분과 미분의 관계: 어떤 함수의 부정적분을 미분하면 원래 함수가 됩니다. 즉, $F(x)$가 $f(x)$의 부정적분이면 $F'(x) = f(x)$입니다.
- 새로운 함수 정의하기: 구하고자 하는 식 $G(x) - 2F(x)$를 하나의 새로운 함수 $H(x)$로 치환하여 생각하면 문제가 훨씬 단순해집니다.
- 적분상수 구하기: 부정적분을 할 때 생기는 적분상수 $C$를 주어진 함숫값 조건을 이용해 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 부정적분의 정의를 이용해 미분한 식 만들기
문제에서 $F(x)$는 $f(x)$의 부정적분이라고 했고, $G(x)$는 $2f(x)+1$의 부정적분이라고 했습니다. 부정적분의 정의에 따라 이 두 식을 미분하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$F'(x) = f(x)$$
$$G'(x) = 2f(x) + 1$$
2단계: 구하고자 하는 식을 새로운 함수 $H(x)$로 두기
우리가 구해야 하는 값은 $G(5) - 2F(5)$이고, 문제에서 준 조건은 $G(3) = 2F(3)$ 즉, $G(3) - 2F(3) = 0$입니다.
두 식 모두 $G(x) - 2F(x)$의 형태를 가지고 있네요!
따라서 이 식을 새로운 함수 $H(x)$로 정의해 봅시다.
$$H(x) = G(x) - 2F(x)$$
우리가 구해야 할 값은 $H(5)$이고, 알고 있는 조건은 $H(3) = 0$이 됩니다.
3단계: $H(x)$의 도함수 $H'(x)$ 구하기
이제 $H(x)$가 어떤 함수인지 알아내기 위해 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다.
$$H'(x) = G'(x) - 2F'(x)$$
여기에 1단계에서 구한 $F'(x)$와 $G'(x)$를 대입합니다.
$$H'(x) = (2f(x) + 1) - 2f(x)$$
동류항인 $2f(x)$가 서로 사라지네요!
$$H'(x) = 1$$
4단계: $H(x)$ 구하기 (적분하기)
$H'(x) = 1$이므로, 양변을 다시 $x$에 대해 적분하여 $H(x)$를 구합니다.
$$H(x) = \int 1 \, dx = x + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
5단계: 적분상수 $C$를 구하고 최종 답 구하기
2단계에서 정리한 조건 $H(3) = 0$을 이용해 적분상수 $C$를 구합니다.
$$H(3) = 3 + C = 0$$
$$C = -3$$
따라서 함수 $H(x)$는 다음과 같습니다.
$$H(x) = x - 3$$
우리가 최종적으로 구하고자 하는 값은 $G(5) - 2F(5)$, 즉 $H(5)$입니다.
$$H(5) = 5 - 3 = 2$$
답
② 2
확인해보기
공부한 내용을 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해 보세요.
> 다항함수 $f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$라 하고, 함수 $3f(x) + 2x$의 한 부정적분을 $G(x)$라 합시다.
> 만약 $G(1) - 3F(1) = 5$라면, $G(2) - 3F(2)$의 값은 얼마일까요? (위 풀이에서 사용한 $H(x) = G(x) - 3F(x)$ 방법을 적용해 보세요!)