어떤 문제인가
이 문제는 포물선의 가장 기본적인 형태를 이해하고, 방정식의 계수를 통해 포물선의 초점(Focus)의 위치를 찾을 수 있는지 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 포물선의 표준형 방정식: 꼭짓점이 원점 $(0,0)$이고 $x$축을 축으로 하는 포물선의 방정식은 $y^2 = 4px$입니다.
- 초점의 좌표: 방정식 $y^2 = 4px$에서 초점의 좌표는 $(p, 0)$이 됩니다.
단계별 풀이
1단계: 포물선의 표준형 공식 기억하기
우리가 배우는 포물선 중에서 좌우로 볼록한 모양의 포물선은 다음과 같은 기본 방정식을 가집니다.
$$y^2 = 4px$$
이 식에서 $p$는 초점의 위치를 결정하는 아주 중요한 상수이며, 이때의 초점 좌표는 $(p, 0)$이 됩니다. 준선의 방정식은 $x = -p$가 되지요.
2단계: 주어진 식을 표준형 모양으로 변형하기
문제에서 주어진 포물선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y^2 = 8x$$
이 식을 표준형인 $y^2 = 4px$의 형태로 만들기 위해, 우변의 $8x$를 $4 \times (\text{어떤 수}) \times x$의 형태로 쪼개어 써봅시다.
$$y^2 = 4 \cdot 2 \cdot x$$
3단계: $p$의 값 비교하여 구하기
이제 표준형 공식과 문제의 식을 나란히 비교해 볼까요?
- 표준형: $y^2 = 4 \cdot \mathbf{p} \cdot x$
- 문제의 식: $y^2 = 4 \cdot \mathbf{2} \cdot x$
두 식을 비교하면 $p$의 자리에 숫자 $2$가 들어있음을 쉽게 알 수 있습니다.
따라서 $p = 2$입니다. 이 포물선의 초점의 좌표는 $(2, 0)$이 됩니다.
답
② 2
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> 질문: 포물선 $y^2 = -12x$의 초점의 좌표는 무엇일까요? (힌트: $y^2 = 4px$ 형태로 식을 바꾸어 $p$를 구해보세요.)