어떤 문제인가
이 문제는 좌표평면 위에서 분수 형태로 주어진 두 직선의 방정식이 서로 평행할 때, 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직선의 방향벡터: 직선 $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2}$에서 분모에 있는 $(u_1, u_2)$는 직선이 나아가는 방향을 나타내는 방향벡터입니다.
- 두 직선의 평행 조건: 두 직선이 평행하다는 것은 두 직선의 방향벡터가 서로 평행(한 벡터가 다른 벡터의 실수배)하다는 것을 의미합니다. 즉, 방향벡터의 성분의 비율이 서로 같습니다.
단계별 풀이
1단계: 두 직선의 방향벡터 구하기
먼저 주어진 두 직선의 식에서 방향벡터를 각각 찾아봅시다.
첫 번째 직선의 식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x-1}{2} = y-4$$
이 식의 우변인 $y-4$는 분모에 $1$이 생략된 것과 같습니다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\frac{x-1}{2} = \frac{y-4}{1}$$
따라서 첫 번째 직선의 방향벡터를 $\vec{u}$라고 하면, 분모의 값들을 따와서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\vec{u} = (2, 1)$$
두 번째 직선의 식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x+2}{8} = \frac{y+5}{a}$$
이 직선의 방향벡터를 $\vec{v}$라고 하면, 분모의 값들을 따와서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\vec{v} = (8, a)$$
2단계: 평행 조건을 이용하여 $a$ 구하기
두 직선이 서로 평행하므로, 두 방향벡터 $\vec{u}$와 $\vec{v}$도 서로 평행해야 합니다.
두 벡터가 평행하다는 것은 한 벡터에 적당한 실수 $k$를 곱했을 때 다른 벡터가 된다는 뜻입니다.
$$\vec{v} = k\vec{u}$$
성분으로 나타내면 다음과 같습니다.
$$(8, a) = k(2, 1) = (2k, k)$$
이제 $x$성분과 $y$성분을 각각 비교해 봅시다.
- $x$성분 비교: $8 = 2k$ 이므로, $k = 4$입니다.
- $y$성분 비교: $a = k$ 이므로, 앞서 구한 $k=4$를 대입하면 $a = 4$가 됩니다.
*(참고: 방향벡터의 성분의 비율이 같아야 하므로 $\frac{2}{8} = \frac{1}{a}$로 식을 세워 $a=4$를 바로 구할 수도 있습니다.)*
답
④ 4
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> [질문]
> 두 직선 $\frac{x-3}{3} = \frac{y+1}{2}$과 $\frac{x+1}{9} = \frac{y-2}{b}$가 서로 평행할 때, 상수 $b$의 값은 무엇일까요?