어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에 있는 한 점을 서로 다른 두 가지 방법으로 대칭이동한 후, 그렇게 얻은 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$xy$평면에 대한 대칭이동**: 어떤 좌표가 어떻게 변하는지 이해하기
- 원점에 대한 대칭이동: 세 좌표의 부호가 어떻게 바뀌는지 이해하기
- 좌표공간에서 두 점 사이의 거리 공식: 피타고라스 정리를 공간으로 확장하여 거리 구하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{B}$의 좌표 구하기 ($xy$평면에 대한 대칭이동)
어떤 점을 $xy$평면에 대하여 대칭이동하면, $x$좌표와 $y$좌표는 그대로 유지되고 **$z$좌표의 부호만 반대로** 바뀝니다. 거울이 $xy$평면에 놓여 있다고 생각하면, 위아래($z$축 방향)로만 위치가 뒤집히기 때문이에요.
점 $\mathrm{A}(4, 3, -9)$를 $xy$평면에 대칭이동한 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$B(4, 3, 9)$$
2단계: 점 $\mathrm{C}$의 좌표 구하기 (원점에 대한 대칭이동)
어떤 점을 원점에 대하여 대칭이동하면, **$x, y, z$ 세 좌표의 부호가 모두 반대로** 바뀝니다.
점 $\mathrm{A}(4, 3, -9)$를 원점에 대칭이동한 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{C}(-4, -3, 9)$$
3단계: 선분 $\mathrm{BC}$의 길이 구하기
이제 두 점 $\mathrm{B}(4, 3, 9)$와 $\mathrm{C}(-4, -3, 9)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
좌표공간에서 두 점 $(x_1, y_1, z_1)$과 $(x_2, y_2, z_2)$ 사이의 거리 공식은 다음과 같습니다.
$$\text{거리} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
이 공식에 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$의 좌표를 대입해 볼까요?
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{(-4 - 4)^2 + (-3 - 3)^2 + (9 - 9)^2}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{(-8)^2 + (-6)^2 + 0^2}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{64 + 36 + 0}$$
$$\overline{\mathrm{BC}} = \sqrt{100} = 10$$
따라서 선분 $\mathrm{BC}$의 길이는 $10$입니다.
답
① $10$
확인해보기
오늘 배운 대칭이동의 원리를 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다!
> 질문: 점 $\mathrm{A}(4, 3, -9)$를 **$z$축에 대하여 대칭이동**한 점의 좌표는 무엇일까요? (힌트: $z$축을 기준으로 대칭이동하면 어떤 좌표가 변하지 않고, 어떤 좌표의 부호가 바뀔지 생각해보세요.)