어떤 문제인가
이 문제는 3차원 입체도형(직육면체) 공간에서 한 점과 직선 사이의 거리를 구하는 문제입니다. 공간에서의 거리를 평면으로 끌고 내려와 해결하기 위해 다음과 같은 핵심 개념들을 사용합니다.
- 삼수선의 정리: 공간에서 수직 관계를 이용해 평면 상의 직각삼각형을 만들어내는 아주 강력한 도구입니다.
- 피타고라스 정리: 직각삼각형에서 변의 길이를 구할 때 사용합니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 직각삼각형의 밑변과 높이의 관계를 이용해 특정 수선의 길이를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼수선의 정리를 이용해 '점 $A$와 직선 $FH$ 사이의 거리'가 무엇인지 정의하기
공간에서 점 $A$에서 직선 $FH$에 내린 수선의 발을 $K$라고 해봅시다. 우리가 구하고자 하는 거리는 바로 선분 $\overline{\mathrm{AK}}$의 길이입니다. 이 길이를 구하기 위해 삼수선의 정리를 적용해 볼까요?
- 첫 번째 수선: 점 $A$에서 밑면 $EFGH$에 내린 수선은 선분 $\overline{\mathrm{AE}}$입니다. ($\overline{\mathrm{AE}} \perp$ 밑면 $EFGH$)
- 두 번째 수선: 밑면 위의 점 $E$에서 직선 $FH$에 내린 수선의 발을 $K$라고 합시다. ($\overline{\mathrm{EK}} \perp \overline{\mathrm{FH}}$)
- 삼수선의 정리 결과: 위 두 조건이 만족하므로, 점 $A$와 $K$를 이은 선분 $\overline{\mathrm{AK}}$는 직선 $FH$와 수직이 됩니다. ($\overline{\mathrm{AK}} \perp \overline{\mathrm{FH}}$)
따라서, 우리가 구하고자 하는 거리는 직각삼각형 $\mathrm{AEK}$의 빗변인 $\overline{\mathrm{AK}}$의 길이입니다.
이때 $\overline{\mathrm{AE}} \perp \overline{\mathrm{EK}}$이므로 피타고라스 정리에 의해 다음 식이 성립합니다.
$$\overline{\mathrm{AK}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AE}}^2 + \overline{\mathrm{EK}}^2}$$
우리는 이미 $\overline{\mathrm{AE}} = 1$임을 알고 있으므로, 이제 $\overline{\mathrm{EK}}$의 길이만 구하면 됩니다!
2단계: 밑면에서 $\overline{\mathrm{EK}}$의 길이 구하기
밑면인 직사각형 $EFGH$만 따로 떼어놓고 생각해 봅시다.
- $\overline{\mathrm{EF}} = \overline{\mathrm{AB}} = 10$
- $\overline{\mathrm{EH}} = \overline{\mathrm{AD}} = 5$
- $\angle{\mathrm{FEH}} = 90^\circ$
직각삼각형 $\mathrm{EFH}$에서 피타고라스 정리를 사용해 대각선 $\overline{\mathrm{FH}}$의 길이를 먼저 구합니다.
$$\overline{\mathrm{FH}} = \sqrt{\overline{\mathrm{EF}}^2 + \overline{\mathrm{EH}}^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
이제 삼각형 $\mathrm{EFH}$의 넓이를 두 가지 방법으로 구해서 높이인 $\overline{\mathrm{EK}}$를 찾아봅시다.
- 밑변을 $\overline{\mathrm{EF}}$, 높이를 $\overline{\mathrm{EH}}$로 볼 때:
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 10 \times 5 = 25$$
- 밑변을 $\overline{\mathrm{FH}}$, 높이를 $\overline{\mathrm{EK}}$로 볼 때:
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \times \overline{\mathrm{EK}}$$
두 넓이는 같아야 하므로 식을 세워봅니다.
$$\frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \times \overline{\mathrm{EK}} = 25$$
$$5\sqrt{5} \times \overline{\mathrm{EK}} = 50$$
$$\overline{\mathrm{EK}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$
3단계: 최종 거리 $\overline{\mathrm{AK}}$ 구하기
이제 다시 공간으로 돌아와서, 직각삼각형 $\mathrm{AEK}$에 피타고라스 정리를 적용합니다.
- $\overline{\mathrm{AE}} = 1$
- $\overline{\mathrm{EK}} = 2\sqrt{5}$
$$\overline{\mathrm{AK}} = \sqrt{\overline{\mathrm{AE}}^2 + \overline{\mathrm{EK}}^2}$$
$$\overline{\mathrm{AK}} = \sqrt{1^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{1 + 20} = \sqrt{21}$$
따라서 점 $A$와 직선 $FH$ 사이의 거리는 $\sqrt{21}$입니다.
답
① $\sqrt{21}$
확인해보기
만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고, 직육면체의 높이인 $\overline{\mathrm{AE}}$의 길이만 $1$에서 $4$로 바뀐다면, 점 $\mathrm{A}$와 직선 $\mathrm{FH}$ 사이의 거리는 얼마가 될까요? 오늘 배운 단계를 차근차근 적용해서 스스로 계산해 보세요!