어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선의 성질과 접선의 방정식을 결합한 아주 좋은 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 쌍곡선의 정의: 쌍곡선 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이($2b$ 또는 $2a$)로 일정합니다.
- 쌍곡선의 방정식과 초점: 방정식의 우변이 $-1$이므로, 이 쌍곡선은 위아래로 열린 모양이며 주축의 길이는 $2b$입니다.
- 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식: 쌍곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 공식인 $\frac{x_1x}{a^2} - \frac{y_1y}{b^2} = -1$을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 쌍곡선의 기본 정보 파악하기
주어진 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = -1$$
이 식에서 $a^2 = 9$, $b^2 = 16$이므로 $a = 3$, $b = 4$입니다.
우변이 $-1$이므로 이 쌍곡선은 y축 방향으로 초점이 있는 쌍곡선입니다.
- 주축의 길이: $2b = 2 \times 4 = 8$
- **초점 $c$ 구하기**: 쌍곡선에서 $c^2 = a^2 + b^2$이 성립하므로,
$$c^2 = 9 + 16 = 25 \implies c = 5 \quad (c>0)$$
따라서 두 초점은 $\text{F}(0, 5)$, $\text{F}'(0, -5)$이고, 두 초점 사이의 거리는 $\overline{\text{FF}'} = 2c = 10$입니다.
2단계: 쌍곡선의 정의와 삼각형의 둘레 이용하기
점 $\text{P}$는 제2사분면에 있는 쌍곡선 위의 점입니다.
쌍곡선의 정의에 의해 두 초점까지의 거리의 차는 주축의 길이인 $8$로 일정합니다.
$$|\overline{\text{PF}'} - \overline{\text{PF}}| = 8$$
점 $\text{P}$는 제2사분면(y가 양수인 영역)에 있으므로, 아래쪽에 있는 초점 $\text{F}'(0, -5)$까지의 거리가 위쪽에 있는 초점 $\text{F}(0, 5)$까지의 거리보다 더 깁니다. 즉, $\overline{\text{PF}'} > \overline{\text{PF}}$입니다.
따라서 다음과 같은 식을 세울 수 있습니다.
$$\overline{\text{PF}'} - \overline{\text{PF}} = 8 \quad \cdots \text{①}$$
또한, 삼각형 $\text{PF}'\text{F}$의 둘레의 길이가 $30$이라고 주어졌습니다.
$$\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} + \overline{\text{FF}'} = 30$$
우리는 1단계에서 $\overline{\text{FF}'} = 10$임을 구했으므로,
$$\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} + 10 = 30 \implies \overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} = 20 \quad \cdots \text{②}$$
이제 ①번 식과 ②번 식을 연립하여 풀어봅시다. 두 식을 더하면,
$$2\overline{\text{PF}'} = 28 \implies \overline{\text{PF}'} = 14$$
두 식을 빼면,
$$2\overline{\text{PF}} = 12 \implies \overline{\text{PF}} = 6$$
3단계: 점 $\text{P}$의 좌표 구하기
점 $\text{P}$의 좌표를 $(x_1, y_1)$이라고 합시다. 점 $\text{P}$는 제2사분면의 점이므로 $x_1 < 0$, $y_1 > 0$입니다.
점 $\text{P}$에서 초점 $\text{F}(0, 5)$까지의 거리가 $6$이므로, 점과 점 사이의 거리 공식을 씁니다.
$$\overline{\text{PF}}^2 = x_1^2 + (y_1 - 5)^2 = 36 \quad \cdots \text{③}$$
또한, 점 $\text{P}$는 쌍곡선 위의 점이므로 쌍곡선 방정식을 만족합니다.
$$\frac{x_1^2}{9} - \frac{y_1^2}{16} = -1 \implies x_1^2 = \frac{9}{16}y_1^2 - 9 \quad \cdots \text{④}$$
④식을 ③식에 대입하여 $y_1$을 구해봅시다.
$$\left(\frac{9}{16}y_1^2 - 9\right) + (y_1^2 - 10y_1 + 25) = 36$$
동류항끼리 정리하면,
$$\frac{25}{16}y_1^2 - 10y_1 - 20 = 0$$
양변에 $16$을 곱해 분수를 없애줍니다.
$$25y_1^2 - 160y_1 - 320 = 0$$
양변을 $5$로 나누어 식을 간단히 만듭니다.
$$5y_1^2 - 32y_1 - 64 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해하면,
$$(5y_1 + 8)(y_1 - 8) = 0$$
$y_1 > 0$이어야 하므로, **$y_1 = 8$**입니다.
이제 $y_1 = 8$을 ④식에 대입하여 $x_1$을 구합니다.
$$x_1^2 = \frac{9}{16}(64) - 9 = 36 - 9 = 27$$
$x_1 < 0$이므로, **$x_1 = -\sqrt{27} = -3\sqrt{3}$**입니다.
따라서 점 $\text{P}$의 좌표는 **$(-3\sqrt{3}, 8)$**입니다.
4단계: 점 $\text{P}$에서의 접선의 기울기 구하기
쌍곡선 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식 공식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x_1x}{9} - \frac{y_1y}{16} = -1$$
여기에 우리가 구한 점 $\text{P}(-3\sqrt{3}, 8)$을 대입합니다.
$$\frac{-3\sqrt{3}x}{9} - \frac{8y}{16} = -1$$
식을 정리하면,
$$-\frac{\sqrt{3}}{3}x - \frac{1}{2}y = -1$$
우리가 구하고자 하는 것은 접선의 '기울기'이므로, 이 식을 $y = mx + n$ 꼴로 정리해 봅시다.
$$\frac{1}{2}y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + 1$$
$$y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}x + 2$$
따라서 접선의 기울기는 **$-\frac{2\sqrt{3}}{3}$**입니다.
답
정답은 ②번입니다.
확인해보기
쌍곡선의 방정식이 만약 우변이 $+1$인 $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$이었다면, 두 초점 사이의 거리의 차(주축의 길이)는 얼마가 되어야 할까요? 스스로 생각해보며 쌍곡선의 두 가지 형태를 비교해 보세요!