반갑습니다! 공간도형과 정사영의 개념이 융합된 아주 좋은 기하 문제를 함께 풀어보겠습니다. 이 문제는 복잡해 보이지만, 조건들을 하나씩 좌표와 도형의 성질로 번역해 나가면 실타래가 풀리듯 명쾌하게 해결할 수 있습니다.
천천히 한 단계씩 알아가 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 구 위의 두 점 $\text{A, B}$와 원점 $\text{O}$가 이루는 삼각형을 $xy$평면 위로 정사영(수직으로 투영)했을 때 생기는 도형의 성질을 이용해, 두 평면이 이루는 각(이면각)의 크기를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **공간좌표와 $z$좌표의 의미**: 어떤 점과 $xy$평면 사이의 거리는 그 점의 $z$좌표의 절댓값과 같습니다.
- 선분과 평면이 이루는 각: 선분과 평면이 이루는 각의 사인($\sin$) 값은 (높이 변화량) / (선분의 길이)로 나타낼 수 있습니다.
- 정사영과 넓이 공식: 두 평면이 이루는 예각의 크기가 $\theta$일 때, 원래 도형의 넓이 $S$와 정사영된 도형의 넓이 $S'$ 사이에는 $S' = S \cos\theta$가 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 통해 점 $\text{B}$와 점 $\text{C}$의 $z$좌표 관계 파악하기
구 $S$의 방정식이 $x^2 + y^2 + z^2 = 36$이므로, 구의 반지름은 $6$입니다. 즉, 원점 $\text{O}$에서 구 위의 점 $\text{A}$까지의 거리는 $\overline{\text{OA}} = 6$입니다.
조건 (가)에서 점 $\text{C}$는 선분 $\text{OA}$ 위의 점이고 $\overline{\text{OC}} = 4$라고 했습니다.
따라서 점 $\text{C}$는 선분 $\text{OA}$를 $4 : 2$, 즉 $2 : 1$로 내분하는 점입니다.
이때, **"직선 $\text{BC}$와 $xy$평면이 서로 평행하다"**라는 조건은 무슨 뜻일까요?
두 점 $\text{B}$와 $\text{C}$를 잇는 직선이 $xy$평면과 평행하려면, 두 점의 **$z$좌표가 서로 같아야** 합니다.
점 $\text{A}$의 $z$좌표를 $h$ ($h > 0$)라고 해봅시다. 점 $\text{C}$는 $\overline{\text{OC}} : \overline{\text{CA}} = 2 : 1$이므로 닮음비에 의해 점 $\text{C}$의 $z$좌표는 다음과 같습니다.
$$z_{\text{C}} = \frac{2}{3}h$$
따라서 점 $\text{B}$의 $z$좌표 역시 동일합니다.
$$z_{\text{B}} = \frac{2}{3}h$$
2단계: 조건 (나)를 통해 삼각형 $\text{OAB}$가 어떤 삼각형인지 알아내기
직선 $\text{OA}$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기가 $\alpha$이므로, 직각삼각형의 정의에 의해 다음이 성립합니다.
$$\sin\alpha = \frac{z_{\text{A}}}{\overline{\text{OA}}} = \frac{h}{6}$$
마찬가지로, 직선 $\text{AB}$와 $xy$평면이 이루는 예각의 크기가 $\beta$이므로, 두 점 $\text{A, B}$의 $z$좌표 차이를 이용해 $\sin\beta$를 구할 수 있습니다.
$$\sin\beta = \frac{|z_{\text{A}} - z_{\text{B}}|}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\left|h - \frac{2}{3}h\right|}{\overline{\text{AB}}} = \frac{\frac{1}{3}h}{\overline{\text{AB}}}$$
조건 (나)에서 $\sin\alpha = 3\sin\beta$라고 주어졌으므로, 위 식들을 대입해 봅시다.
$$\frac{h}{6} = 3 \times \frac{\frac{1}{3}h}{\overline{\text{AB}}} = \frac{h}{\overline{\text{AB}}}$$
양변에서 $h$를 나누면 (단, 점 $\text{A}$의 $z$좌표는 $6$이 아닌 양수이므로 $h \neq 0$):
$$\frac{1}{6} = \frac{1}{\overline{\text{AB}}} \implies \overline{\text{AB}} = 6$$
원점 $\text{O}$와 구 위의 두 점 $\text{A, B}$에 대해, $\overline{\text{OA}} = 6$, $\overline{\text{OB}} = 6$ (구의 반지름), 그리고 방금 구한 $\overline{\text{AB}} = 6$입니다.
세 변의 길이가 모두 $6$으로 같으므로, **삼각형 $\text{OAB}$는 한 변의 길이가 $6$인 정삼각형**입니다!
3단계: 정사영된 삼각형의 성질을 이용해 $h$의 값 구하기
세 점 $\text{O, A, B}$의 $xy$평면 위로의 정사영을 각각 $\text{O', A', B'}$이라 합시다. ($\text{O'}$은 원점 $\text{O}$와 일치합니다.)
각 선분의 정사영의 길이는 피타고라스 정리를 이용해 구할 수 있습니다.
- $\overline{\text{OA'}}^2 = \overline{\text{OA}}^2 - z_{\text{A}}^2 = 36 - h^2$
- $\overline{\text{OB'}}^2 = \overline{\text{OB}}^2 - z_{\text{B}}^2 = 36 - \left(\frac{2}{3}h\right)^2 = 36 - \frac{4}{9}h^2$
- $\overline{\text{A'B'}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 - (z_{\text{A}} - z_{\text{B}})^2 = 36 - \left(\frac{1}{3}h\right)^2 = 36 - \frac{1}{9}h^2$
문제에서 이 정사영된 삼각형 $\text{OA'B'}$이 직각삼각형이라고 했습니다. 세 변의 제곱 값을 비교해 보면, $h > 0$이므로 다음과 같은 대소 관계를 가집니다.
$$\overline{\text{OA'}}^2 < \overline{\text{OB'}}^2 < \overline{\text{A'B'}}^2$$
가장 긴 변이 $\overline{\text{A'B'}}$이므로, 직각삼각형의 빗변은 $\overline{\text{A'B'}}$이 되어야 하고, 직각은 $\angle\text{OA'B'}$이 아닌 $\angle\text{A'OB'}$이 됩니다.
피타고라스 정리에 의해:
$$\overline{\text{A'B'}}^2 = \overline{\text{OA'}}^2 + \overline{\text{OB'}}^2$$
위에서 구한 식들을 대입합니다.
$$36 - \frac{1}{9}h^2 = (36 - h^2) + \left(36 - \frac{4}{9}h^2\right)$$
$$36 - \frac{1}{9}h^2 = 72 - \frac{13}{9}h^2$$
$$\frac{12}{9}h^2 = 36 \implies \frac{4}{3}h^2 = 36 \implies h^2 = 27$$
4단계: 두 평면이 이루는 각 $\theta$ 구하기
이제 정사영의 넓이 공식을 사용해 $\cos\theta$를 구하겠습니다.
- **원래 삼각형 $\text{OAB}$의 넓이 ($S$)**:
한 변의 길이가 $6$인 정삼각형이므로,
$$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6^2 = 9\sqrt{3}$$
- **정사영된 삼각형 $\text{OA'B'}$의 넓이 ($S'$)**:
$\angle\text{A'OB'} = 90^\circ$인 직각삼각형이므로, 두 밑변의 길이를 구합니다.
* $\overline{\text{OA'}}^2 = 36 - h^2 = 36 - 27 = 9 \implies \overline{\text{OA'}} = 3$
* $\overline{\text{OB'}}^2 = 36 - \frac{4}{9}h^2 = 36 - \frac{4}{9}(27) = 36 - 12 = 24 \implies \overline{\text{OB'}} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$
따라서 넓이 $S'$은 다음과 같습니다.
$$S' = \frac{1}{2} \times \overline{\text{OA'}} \times \overline{\text{OB'}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$$
- **$\cos\theta$ 계산**:
$$S' = S \cos\theta \implies \cos\theta = \frac{S'}{S}$$
$$\cos\theta = \frac{3\sqrt{6}}{9\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$
답
정답은 **④ $\frac{\sqrt{2}}{3}$** 입니다.
확인해보기
질문: 풀이의 1단계에서 "직선 $\text{BC}$와 $xy$평면이 평행하다"는 조건으로부터 두 점 $\text{B}$와 $\text{C}$의 $z$좌표가 같다는 결론을 내렸습니다. 만약 어떤 직선이 $xy$평면과 평행하지 않고 비스듬히 놓여 있다면, 그 직선 위의 점들의 $z$좌표는 어떻게 변할지 스스로 설명해 보세요.