어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 타원 $C_1$과 $C_2$가 등장하고, 이들의 기하학적 성질을 이용해 각 타원의 장축의 길이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 타원의 정의: 타원 위의 임의의 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 항상 **장축의 길이($2a$)**로 일정합니다.
- 타원의 피타고라스 정리: 타원의 중심에서 초점까지의 거리를 $c$, 단축의 꼭짓점까지의 거리를 $b$, 장축의 꼭짓점까지의 거리를 $a$라 할 때, $a^2 = b^2 + c^2$이 성립합니다.
- 좌표평면에서의 대칭성과 중점: 도형의 대칭적 위치를 파악하면 복잡한 계산을 크게 줄일 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$와 점 $\mathrm{Q}$의 좌표 분석하기
먼저 타원 $C_1$의 두 초점은 $\mathrm{F}(0, 6)$, $\mathrm{F}'(0, -6)$이므로 $y$축 위에 세로로 놓인 타원입니다.
점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{F}(0, 6)$을 지나고 $x$축과 평행한 직선($y=6$) 위에 있으므로, 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 $\mathrm{P}(k, 6)$ ($k > 0$)이라고 놓을 수 있습니다.
이제 선분 $\mathrm{PF}'$이 $x$축과 만나는 점 $\mathrm{Q}$를 찾아봅시다.
- $\mathrm{P}(k, 6)$과 $\mathrm{F}'(0, -6)$의 중점을 구해보면 다음과 같습니다.
$$\left( \frac{k+0}{2}, \frac{6 + (-6)}{2} \right) = \left( \frac{k}{2}, 0 \right)$$
- 이 중점은 $y$좌표가 $0$이므로 $x$축 위에 있습니다. 즉, 선분 $\mathrm{PF}'$의 중점이 바로 점 $\mathrm{Q}$가 됩니다!
$$\mathrm{Q}\left(\frac{k}{2}, 0\right)$$
- 따라서 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{PF}'$의 중점이므로, $\overline{\mathrm{QP}} = \overline{\mathrm{QF}'}$이 성립합니다.
2단계: 타원 $C_2$의 성질 분석하기
타원 $C_2$는 두 점 $\mathrm{P}(k, 6)$과 $\mathrm{F}(0, 6)$을 초점으로 합니다.
- 두 초점의 $y$좌표가 $6$으로 같으므로, 타원 $C_2$는 가로로 누운 타원입니다.
- 타원 $C_2$의 중심은 두 초점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{F}$의 중점이므로 $\left(\frac{k}{2}, 6\right)$입니다.
- 초점 사이의 거리의 절반을 $c_2$라 하면, 두 초점 사이의 거리가 $\overline{\mathrm{PF}} = k$이므로 $c_2 = \frac{k}{2}$입니다.
- 문제에서 점 $\mathrm{Q}\left(\frac{k}{2}, 0\right)$이 타원 $C_2$의 꼭짓점이라고 했습니다. 중심 $\left(\frac{k}{2}, 6\right)$과 $x$좌표가 같고 $y$좌표만 다르므로, $\mathrm{Q}$는 단축의 꼭짓점입니다.
- 따라서 중심에서 단축의 꼭짓점까지의 거리 $b_2$는 $6$이 됩니다. ($b_2 = 6$)
타원 $C_2$의 장축의 길이의 절반을 $a_2$라 하면, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다.
$$a_2^2 = b_2^2 + c_2^2 = 6^2 + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = 36 + \frac{k^2}{4}$$
여기서 선분 $\mathrm{PF}'$의 길이를 구해보면,
$$\overline{\mathrm{PF}'} = \sqrt{(k-0)^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{k^2 + 144} = \sqrt{4\left(\frac{k^2}{4} + 36\right)} = 2\sqrt{36 + \frac{k^2}{4}} = 2a_2$$
즉, $\overline{\mathrm{PF}'} = 2a_2$라는 아주 예쁜 관계식을 얻을 수 있습니다!
3단계: 타원의 정의를 이용해 식 세우기
이제 타원의 정의를 사용해 봅시다. 타원 $C_1$의 장축의 길이를 $2a_1$이라 하겠습니다.
- **점 $\mathrm{P}$는 타원 $C_1$ 위의 점이므로**:
$$\overline{\mathrm{PF}} + \overline{\mathrm{PF}'} = 2a_1$$
이때 $\overline{\mathrm{PF}} = k$이고, 2단계에서 구한 $\overline{\mathrm{PF}'} = 2a_2$를 대입하면,
$$k + 2a_2 = 2a_1 \implies 2a_1 - 2a_2 = k \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
- **점 $\mathrm{R}$은 두 타원의 교점이므로**:
* $R$이 타원 $C_1$ 위의 점이므로: $\overline{\mathrm{RF}} + \overline{\mathrm{RF}'} = 2a_1$
* $R$이 타원 $C_2$ 위의 점이므로: $\overline{\mathrm{RF}} + \overline{\mathrm{RP}} = 2a_2$
위의 두 식을 서로 빼주면 $\overline{\mathrm{RF}}$가 사라집니다!
$$\overline{\mathrm{RF}'} - \overline{\mathrm{RP}} = 2a_1 - 2a_2$$
문제에서 $\overline{\mathrm{F}'\mathrm{R}} - \overline{\mathrm{PR}} = 7\sqrt{2}$라고 주어졌으므로,
$$2a_1 - 2a_2 = 7\sqrt{2}$$
가 됩니다.
(식 1)에 의해 이 값은 바로 $k$와 같습니다!
$$k = 7\sqrt{2}$$
4단계: 두 타원의 장축의 길이 구하기
이제 구한 $k$ 값을 이용해 두 타원의 장축의 길이를 각각 구해봅시다.
- **타원 $C_2$의 장축의 길이 ($2a_2$)**:
$$a_2^2 = 36 + \frac{k^2}{4} = 36 + \frac{(7\sqrt{2})^2}{4} = 36 + \frac{98}{4} = 36 + \frac{49}{2} = \frac{121}{2}$$
$$a_2 = \sqrt{\frac{121}{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}}$$
따라서 타원 $C_2$의 장축의 길이는 다음과 같습니다.
$$2a_2 = \frac{22}{\sqrt{2}} = 11\sqrt{2}$$
- **타원 $C_1$의 장축의 길이 ($2a_1$)**:
$2a_1 - 2a_2 = 7\sqrt{2}$ 이므로,
$$2a_1 = 2a_2 + 7\sqrt{2} = 11\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$$
5단계: 장축의 길이의 곱 계산하기
두 타원의 장축의 길이의 곱은 다음과 같습니다.
$$(2a_1) \times (2a_2) = 18\sqrt{2} \times 11\sqrt{2} = 18 \times 11 \times 2 = 396$$
답
$$396$$
확인해보기
타원의 정의를 잘 이해했는지 스스로 점검해봅시다.
질문: 타원의 두 초점이 $\mathrm{F}(c, 0)$, $\mathrm{F}'(-c, 0)$이고 단축의 한 꼭짓점이 $\mathrm{B}(0, b)$일 때, 선분 $\mathrm{BF}$의 길이는 장축의 길이의 절반($a$)과 같습니다. 타원의 정의를 이용하여 그 이유를 설명해 보세요.