어떤 문제인가
이 문제는 기하학적 상황에서 벡터의 연산과 성질을 활용하여 특정 점의 자취를 찾고, 그 자취 위를 움직이는 점과 고정된 점 사이의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 좌표평면 도입: 복잡한 도형 문제는 좌표평면 위에 나타내면 계산이 훨씬 직관적이고 쉬워집니다.
- 벡터의 내적과 수직 조건: 두 벡터의 내적이 $0$이면 두 벡터는 서로 수직입니다 ($\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \iff \vec{a} \perp \vec{b}$).
- 벡터의 내분점 표현과 원의 방정식: 벡터 식 $|3\overrightarrow{\mathrm{XP}} + \overrightarrow{\mathrm{XR}}| = |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$을 내분점을 이용하여 원의 방정식 형태로 변형하는 것입니다.
단계별 풀이
1. 좌표평면 설정하기
삼각형 $\mathrm{ABC}$가 이등변삼각형이므로, 계산을 편리하게 하기 위해 좌표평면 위에 올려놓읍시다.
선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 원점 $\mathrm{O}(0,0)$으로 잡으면, $\overline{\mathrm{BC}} = 16$이므로 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{C}$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{B}(-8, 0), \quad \mathrm{C}(8, 0)$$
점 $\mathrm{A}$는 $y$축 위에 존재하므로 $\mathrm{A}(0, a)$ ($a > 0$)라 할 수 있습니다. 직각삼각형 $\mathrm{AOB}$에서 피타고라스 정리를 쓰면,
$$\overline{\mathrm{AO}}^2 + \overline{\mathrm{OB}}^2 = \overline{\mathrm{AB}}^2$$
$$a^2 + 8^2 = (8\sqrt{5})^2 \implies a^2 + 64 = 320 \implies a^2 = 256$$
$a > 0$이므로 $a = 16$입니다. 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{A}(0, 16)$입니다.
이때 두 직선 $\mathrm{AB}$와 $\mathrm{AC}$의 방정식은 각각 다음과 같습니다.
- 직선 $\mathrm{AB}$: $y = 2x + 16$ (단, $-8 \le x \le 0$)
- 직선 $\mathrm{AC}$: $y = -2x + 16$ (단, $0 \le x \le 8$)
2. 조건 (가)를 해석하여 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$의 좌표 나타내기
조건 (가)를 먼저 살펴봅시다.
$$(\overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PQ}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0$$
선분 $\mathrm{BQ}$의 중점을 $\mathrm{M}_1$이라 하면, 벡터의 합 성질에 의해 $\overrightarrow{\mathrm{PB}} + \overrightarrow{\mathrm{PQ}} = 2\overrightarrow{\mathrm{PM}_1}$이 성립합니다.
따라서 $2\overrightarrow{\mathrm{PM}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0$, 즉 $\overrightarrow{\mathrm{PM}_1} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$입니다.
선분 $\mathrm{BC}$가 $x$축 위에 있으므로, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 선분 $\mathrm{BQ}$의 중점 $\mathrm{M}_1$의 $x$좌표와 같아야 합니다.
점 $\mathrm{Q}$가 선분 $\mathrm{BC}$ 위의 점이므로 $\mathrm{Q}(q, 0)$ (단, $-8 \le q \le 8$)라 합시다.
그러면 $\mathrm{B}(-8, 0)$과 $\mathrm{Q}(q, 0)$의 중점 $\mathrm{M}_1$의 $x$좌표는 $\frac{q-8}{2}$입니다.
점 $\mathrm{P}$는 직선 $\mathrm{AB}$ 위의 점이므로, $x$좌표를 대입하면 다음과 같이 좌표를 구할 수 있습니다.
$$\mathrm{P}\left(\frac{q-8}{2}, q+8\right)$$
마찬가지로, $(\overrightarrow{\mathrm{RC}} + \overrightarrow{\mathrm{RQ}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 0$에서 선분 $\mathrm{QC}$의 중점을 $\mathrm{M}_2$라 하면 $\overrightarrow{\mathrm{RM}_2} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$입니다.
$\mathrm{Q}(q, 0)$와 $\mathrm{C}(8, 0)$의 중점 $\mathrm{M}_2$의 $x$좌표는 $\frac{q+8}{2}$입니다.
점 $\mathrm{R}$은 직선 $\mathrm{AC}$ 위의 점이므로, $x$좌표를 대입하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{R}\left(\frac{q+8}{2}, -q+8\right)$$
3. 조건 (나)를 이용하여 $q$의 값 구하기
조건 (나)는 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}} = |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$$
이 식을 좌변으로 이항하여 공통인수로 묶어봅시다.
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}} - \overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}} = 0$$
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{QR}} - \overrightarrow{\mathrm{QP}}) = 0$$
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} = 0$$
즉, 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{QP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{PR}}$은 서로 수직입니다. 이제 두 벡터를 $q$에 관한 성분으로 나타내어 내적을 계산해 봅시다.
$$\overrightarrow{\mathrm{QP}} = \mathrm{P} - \mathrm{Q} = \left(\frac{q-8}{2} - q, q+8\right) = \left(-\frac{q+8}{2}, q+8\right)$$
$$\overrightarrow{\mathrm{PR}} = \mathrm{R} - \mathrm{P} = \left(\frac{q+8}{2} - \frac{q-8}{2}, -q+8 - (q+8)\right) = (8, -2q)$$
두 벡터의 내적이 $0$이므로,
$$\left(-\frac{q+8}{2}\right) \times 8 + (q+8) \times (-2q) = 0$$
$$-4(q+8) - 2q(q+8) = 0$$
$$-2(q+8)(q+2) = 0$$
따라서 $q = -8$ 또는 $q = -2$입니다.
- 만약 $q = -8$이면, 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\mathrm{P}(-8, 0)$이 되고 점 $\mathrm{Q}$도 $\mathrm{Q}(-8, 0)$이 되어 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| = 0$이 됩니다. 이는 문제의 단서 조항인 $|\overrightarrow{\mathrm{PQ}}| > 0$에 모순됩니다.
- 따라서 **$q = -2$**입니다.
이 값을 대입하여 세 점 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$의 구체적인 좌표를 구하면 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}(-5, 6), \quad \mathrm{Q}(-2, 0), \quad \mathrm{R}(3, 10)$$
4. 점 $\mathrm{X}$의 자취 구하기
점 $\mathrm{X}$가 만족하는 식을 변형해 봅시다.
$$|3\overrightarrow{\mathrm{XP}} + \overrightarrow{\mathrm{XR}}| = |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$$
좌변의 식을 내분점의 위치벡터 형태로 만들기 위해 식을 다음과 같이 변형합니다.
$$\left| 4 \left( \frac{3\overrightarrow{\mathrm{XP}} + \overrightarrow{\mathrm{XR}}}{4} \right) \right| = |\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$$
선분 $\mathrm{PR}$을 $1:3$으로 내분하는 점을 $\mathrm{D}$라고 하면, 임의의 시점 $\mathrm{X}$에 대해 다음이 성립합니다.
$$\overrightarrow{\mathrm{XD}} = \frac{3\overrightarrow{\mathrm{XP}} + \overrightarrow{\mathrm{XR}}}{4}$$
따라서 위 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$|4\overrightarrow{\mathrm{XD}}| = |\overrightarrow{\mathrm{PR}}| \implies |\overrightarrow{\mathrm{XD}}| = \frac{1}{4}|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$$
이것은 **점 $\mathrm{X}$가 점 $\mathrm{D}$를 중심으로 하고 반지름이 $r = \frac{1}{4}|\overrightarrow{\mathrm{PR}}|$인 원 위를 움직인다**는 것을 뜻합니다!
이제 중심 $\mathrm{D}$의 좌표와 반지름 $r$을 구해봅시다.
- 중심 $\mathrm{D}$ (선분 $\mathrm{PR}$을 $1:3$으로 내분하는 점):
$$\mathrm{D} = \frac{3\mathrm{P} + \mathrm{R}}{4} = \left( \frac{3(-5) + 3}{4}, \frac{3(6) + 10}{4} \right) = (-3, 7)$$
- 선분 $\mathrm{PR}$의 길이:
$$|\overrightarrow{\mathrm{PR}}| = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (10 - 6)^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$
- 반지름 $r$:
$$r = \frac{1}{4}|\overrightarrow{\mathrm{PR}}| = \frac{1}{4} \times 4\sqrt{5} = \sqrt{5}$$
즉, 점 $\mathrm{X}$는 중심이 $\mathrm{D}(-3, 7)$이고 반지름이 $\sqrt{5}$인 원 위의 점입니다.
5. $|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|$의 최댓값과 최솟값 구하기
점 $\mathrm{B}(-8, 0)$에서 원 위의 점 $\mathrm{X}$까지의 거리 $|\overrightarrow{\mathrm{BX}}|$의 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은, 점 $\mathrm{B}$에서 원의 중심 $\mathrm{D}(-3, 7)$까지의 거리에서 반지름 $r$을 더하거나 뺀 값입니다.
먼저 두 점 $\mathrm{B}$와 $\mathrm{D}$ 사이의 거리를 구합니다.
$$\overline{\mathrm{BD}} = \sqrt{(-3 - (-8))^2 + (7 - 0)^2} = \sqrt{5^2 + 7^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74}$$
따라서 최댓값 $M$과 최솟값 $m$은 다음과 같습니다.
$$M = \overline{\mathrm{BD}} + r = \sqrt{74} + \sqrt{5}$$
$$m = \overline{\mathrm{BD}} - r = \sqrt{74} - \sqrt{5}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $M \times m$이므로 합차 공식을 이용해 계산합니다.
$$M \times m = (\sqrt{74} + \sqrt{5})(\sqrt{74} - \sqrt{5}) = 74 - 5 = 69$$
답
$$69$$
확인해보기
단계별 풀이의 단계 3에서 조건 (나)인 $\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QR}} = |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$를 $\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}} = 0$으로 변형하였습니다. 이 변형 과정에서 어떤 벡터의 연산 성질(예: 분배법칙, 벡터의 뺄셈 등)이 사용되었는지 스스로 설명해 보세요.