어떤 문제인가
이 문제는 서로 다른 문자 중에서 중복을 허락하여 몇 개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **중복순열 ($\Pi$)**: 서로 다른 $n$개 중에서 중복을 허락하여 $r$개를 택해 일렬로 나열하는 것을 말합니다.
- 곱의 법칙: 여러 단계에 걸쳐 일어나는 사건의 경우의 수를 구할 때, 각 단계의 경우의 수를 모두 곱하는 법칙입니다.
단계별 풀이
1단계: 빈자리 만들기
우리가 구해야 하는 것은 4자리의 문자열입니다. 네 개의 빈칸이 있다고 상상해 봅시다.
$$[ \quad ] \quad [ \quad ] \quad [ \quad ] \quad [ \quad ]$$
이 각각의 빈칸에 문자 $a$, $b$, $c$ 중 하나를 채워 넣을 것입니다.
2단계: 각 자리에 올 수 있는 경우의 수 생각하기
- 첫 번째 칸에 올 수 있는 문자는 무엇일까요? $a, b, c$ 중 어느 것이든 올 수 있으므로 **$3$가지**입니다.
- 두 번째 칸에는 어떤 문자가 올 수 있을까요? 문제에서 '중복을 허락하여'라고 했기 때문에, 첫 번째 칸에 쓴 문자를 또 쓸 수 있습니다. 따라서 여전히 $a, b, c$ 중 **$3$가지**가 올 수 있습니다.
- 세 번째 칸도 마찬가지로 중복이 가능하므로 **$3$가지**입니다.
- 네 번째 칸 역시 **$3$가지**입니다.
3단계: 곱의 법칙 적용하기
첫 번째 칸을 채우고, 이어서 두 번째, 세 번째, 네 번째 칸을 모두 채워야 하나의 문자열이 완성됩니다. 이렇게 연이어 일어나는 사건의 경우의 수는 곱의 법칙을 사용해 모두 곱해줍니다.
$$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$$
이를 기호로 나타내면 서로 다른 $3$개에서 $4$개를 택하는 중복순열이므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$_3\Pi_4 = 3^4 = 81$$
따라서 구하는 경우의 수는 $81$가지입니다.
답
**④ $81$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 사용할 수 있는 문자가 $a, b, c, d$로 총 $4$개이고, 이 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는 어떻게 식을 세우고 계산해야 할까요?