어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$의 합집합의 확률과, $B$에서 $A$를 제외한 부분의 확률이 주어졌을 때, 사건 $A$가 일어나지 않을 확률(여사건의 확률)을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 여사건의 확률: 사건 $A$가 일어나지 않을 확률 $\mathrm{P}(A^C)$는 전체 확률 $1$에서 사건 $A$가 일어날 확률 $\mathrm{P}(A)$를 빼서 구합니다. ($\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$)
- 확률의 덧셈정리와 영역 나누기: 벤다이어그램을 그렸을 때, 합집합 $A \cup B$는 서로 겹치지 않는 두 영역인 '$A$'와 '$B$이면서 $A$는 아닌 부분($A^C \cap B$)'으로 쪼갤 수 있습니다.
단계별 풀이
1. 벤다이어그램을 떠올리며 식 세우기
우리가 구해야 하는 것은 $\mathrm{P}(A^C)$이므로, 먼저 $\mathrm{P}(A)$를 구해야 합니다. 문제에서 주어진 조건인 $\mathrm{P}(A \cup B)$와 $\mathrm{P}(A^C \cap B)$의 관계를 알아봅시다.
사건 $A \cup B$는 다음 두 가지 영역의 합으로 생각할 수 있습니다.
- 사건 $A$가 일어나는 영역
- 사건 $A$는 일어나지 않고 사건 $B$만 일어나는 영역 ($A^C \cap B$)
이 두 영역은 서로 겹치는 부분이 전혀 없기 때문에(서로소), 두 영역의 확률을 그냥 더하면 합집합의 확률이 됩니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(A^C \cap B)$$
2. 사건 $A$의 확률 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
이제 문제에서 알려준 값들을 위 식에 대입해 봅시다.
- $\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{5}{6}$
- $\mathrm{P}(A^C \cap B) = \frac{1}{4}$
대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{5}{6} = \mathrm{P}(A) + \frac{1}{4}$$
$\mathrm{P}(A)$를 구하기 위해 식을 정리해 봅시다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{5}{6} - \frac{1}{4}$$
분모를 $12$로 통분하여 계산합니다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$
3. 여사건의 확률을 이용하여 $\mathrm{P}(A^C)$ 구하기
마지막으로 우리가 구하고자 하는 $\mathrm{P}(A^C)$를 구합니다. 전체 확률 $1$에서 방금 구한 $\mathrm{P}(A)$를 빼주면 됩니다.
$$\mathrm{P}(A^C) = 1 - \mathrm{P}(A)$$
$$\mathrm{P}(A^C) = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$$
답
**③ $\frac{5}{12}$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
질문:
두 사건 $A$, $B$에 대하여 $\mathrm{P}(A) = \frac{2}{3}$이고, $A$와 $B$가 동시에 일어날 확률이 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}$일 때, $A$는 일어나고 $B$는 일어나지 않을 확률인 $\mathrm{P}(A \cap B^C)$의 값은 얼마일까요?
*(힌트: 사건 $A$는 $A \cap B$인 부분과 $A \cap B^C$인 부분으로 쪼갤 수 있습니다.)*