2026학년도 9월 모의평가 수학 확률과 통계 25번 풀이·해설

어떤 문제인가

이 문제는 전체 학생 중 일부를 무작위로 뽑을 때, 특정 조건(2학년 학생 수 = 3학년 학생 수)을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.

이 문제를 풀기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:

**조합 (${}_n\mathrm{C}_r$):** 서로 다른 $n$개 중에서 순서를 생각하지 않고 $r$개를 택하는 방법의 수입니다.
확률의 기본 정의: $\frac{\text{사건 } A\text{가 일어날 경우의 수}}{\text{일어날 수 있는 모든 경우의 수}}$
경우의 수 나누기 (분류): 복잡한 조건은 기준을 세워 겹치지 않게 나누어 생각합니다.

먼저, 아무런 조건 없이 8명의 학생 중에서 임의로 5명을 선택하는 전체 경우의 수를 구해봅시다.

전체 학생 수는 $1\text{명}(1학년) + 3\text{명}(2학년) + 4\text{명}(3학년) = 8\text{명}$입니다.

8명 중 5명을 순서 없이 뽑는 조합의 수(${}_8\mathrm{C}_5$)를 계산해 봅시다.

$${}_8\mathrm{C}_5 = {}_8\mathrm{C}_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$$

따라서 전체 경우의 수는 **$56$**입니다.

우리가 원하는 사건은 '선택된 2학년 학생 수와 3학년 학생 수가 서로 같은 경우'입니다.

선택된 2학년 학생 수를 $x$, 3학년 학생 수를 $y$, 1학년 학생 수를 $z$라고 해봅시다.

우리가 뽑아야 하는 총 학생 수는 5명이므로 다음과 같은 식이 성립합니다.

$$x + y + z = 5$$

이때 조건에서 $x = y$라고 했으므로, $y$ 대신 $x$를 대입하면 다음과 같습니다.

$$2x + z = 5$$

여기서 $z$는 1학년 학생 수인데, 1학년은 총 1명밖에 없으므로 $z$가 될 수 있는 값은 $0$ 또는 $1$뿐입니다. 이 두 가지 경우로 나누어 생각해보겠습니다.

$$2x + 0 = 5 \implies 2x = 5 \implies x = 2.5$$

학생 수는 자연수여야 하므로, 이 경우는 불가능합니다.

$$2x + 1 = 5 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$

즉, $x = 2$이고 $y = 2$입니다.

이것은 '1학년 1명, 2학년 2명, 3학년 2명'을 뽑는 경우를 의미하며, 문제의 조건에 딱 맞습니다!

이제 '1학년 1명, 2학년 2명, 3학년 2명'을 뽑는 경우의 수를 각각 구해서 곱해봅시다.

$${}_1\mathrm{C}_1 = 1$$

$${}_3\mathrm{C}_2 = {}_3\mathrm{C}_1 = 3$$

$${}_4\mathrm{C}_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$$

이 세 사건은 동시에 일어나므로 곱의 법칙을 적용합니다.

$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 1 \times 3 \times 6 = 18$$

마지막으로 확률의 정의에 따라 계산해 봅시다.

$$\text{확률} = \frac{\text{조건을 만족하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} = \frac{18}{56}$$

분모와 분자를 $2$로 약분하면 다음과 같습니다.

$$\frac{18}{56} = \frac{9}{28}$$

정답은 **⑤ $\frac{9}{28}$** 입니다.

공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?

> [질문]

> 만약 문제에서 1학년 학생이 2명으로 늘어났다고 가정해 봅시다. (즉, 1학년 2명, 2학년 3명, 3학년 4명, 총 9명)

> 이 중 임의로 5명을 선택할 때, 선택된 2학년 학생 수와 3학년 학생 수가 서로 같으려면 1학년 학생은 몇 명을 선택해야 할까요? 가능한 경우를 모두 찾아보세요.