어떤 문제인가
이 문제는 표본평균 $\bar{x}$를 이용하여 모집단의 진짜 평균(모평균 $m$)이 존재할 범위를 예측하는 모평균의 추정 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 신뢰구간 공식: 신뢰도 $95\%$로 모평균 $m$을 추정할 때의 신뢰구간은 $\bar{x} - k\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 입니다.
- **신뢰상수 ($k$)**: 신뢰도 $95\%$에 대응하는 표준정규분포의 값 $k = 1.96$을 활용합니다.
- 제곱근의 계산: 분모에 들어갈 $\sqrt{n}$을 간단히 정리하는 힘이 필요합니다.
단계별 풀이
1단계: 문제에서 주어진 조건 정리하기
공식에 대입하기 위해 문제에서 친절하게 알려준 단서들을 하나씩 찾아 적어봅시다.
- 모표준편차 ($\sigma$): $2\sqrt{2}$
- 표본의 크기 ($n$): $128$
- 신뢰도 $95\%$일 때의 신뢰상수 ($k$): $1.96$ (문제 단서에서 $\mathrm{P}(|Z| \le 1.96) = 0.95$라고 주어졌기 때문이에요.)
2단계: 구하고자 하는 $c$의 식 세우기
문제에서 신뢰구간이 $\bar{x}-c \le m \le \bar{x}+c$라고 했습니다.
우리가 알고 있는 신뢰구간 공식과 비교해 볼까요?
$$\bar{x} - k\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
두 식을 비교해 보면, 우리가 구해야 하는 $c$는 바로 다음과 같다는 것을 알 수 있습니다.
$$c = k\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
3단계: 값 대입하고 계산하기
이제 1단계에서 정리한 값들을 공식에 대입해 봅시다.
$$c = 1.96 \times \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{128}}$$
여기서 분모에 있는 $\sqrt{128}$을 먼저 정리해 볼까요? $128 = 64 \times 2 = 8^2 \times 2$이므로,
$$\sqrt{128} = 8\sqrt{2}$$
가 됩니다.
이 값을 식에 다시 넣어 계산을 이어가 봅시다.
$$c = 1.96 \times \frac{2\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}$$
분자와 분모에 공통으로 있는 $\sqrt{2}$를 약분하면 식은 아주 간단해집니다!
$$c = 1.96 \times \frac{2}{8}$$
$$c = 1.96 \times \frac{1}{4}$$
마지막으로 $1.96$을 $4$로 나누어 줍니다.
$$c = 0.49$$
답
**② $0.49$**
확인해보기
공식을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 다른 조건(모표준편차, 신뢰도)은 모두 그대로 두고, 표본의 크기 $n$만 $128$에서 $4$배 늘려 $512$로 만든다면, $c$의 값은 처음 구한 값의 몇 배가 될까요? (직접 계산하지 말고 공식의 형태를 보고 생각해 보세요!)