어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 정사면체 상자를 던져서 나온 두 수의 차를 확률변수 $X$로 두고, 이 $X$의 **분산 $\mathrm{V}(X)$**을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 단계별로 적용할 거예요.
- **확률변수 $X$가 가질 수 있는 값과 그에 따른 확률을 구하여 확률분포표** 만들기
- 확률변수 $X$의 **평균 $\mathrm{E}(X)$** 구하기
- 분산 공식인 **$\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$**을 이용하여 분산 구하기
단계별 풀이
1단계: 각 상자에서 눈이 나올 확률 구하기
정사면체 상자의 각 면에는 $1, 2, 2, 3$이 적혀 있습니다. 따라서 상자 하나를 던졌을 때 각 숫자가 바닥에 닿을 확률은 다음과 같습니다.
- 숫자 $1$이 나올 확률: $\frac{1}{4}$
- 숫자 $2$이 나올 확률: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
- 숫자 $3$이 나올 확률: $\frac{1}{4}$
두 상자는 서로 독립적으로 던져지므로, 두 상자에서 나오는 숫자의 조합에 따른 확률을 계산할 수 있습니다.
2단계: 확률변수 $X$(두 수의 차)의 값과 확률 구하기
두 상자에서 나온 수를 각각 $A, B$라고 하면, 확률변수 $X$는 두 수의 차이므로 $X = |A - B|$입니다.
$X$가 가질 수 있는 값은 **$0, 1, 2$**입니다. 각각의 확률을 구해봅시다.
- **$X = 0$인 경우 (두 수가 같은 경우: $(1,1), (2,2), (3,3)$)**
$$P(X=0) = P(1,1) + P(2,2) + P(3,3)$$
$$P(X=0) = \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{2}{4} \times \frac{2}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{6}{16}$$
- **$X = 2$인 경우 (두 수의 차가 2인 경우: $(1,3), (3,1)$)**
$$P(X=2) = P(1,3) + P(3,1)$$
$$P(X=2) = \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16}$$
- **$X = 1$인 경우 (나머지 모든 경우: $(1,2), (2,1), (2,3), (3,2)$)**
전체 확률의 합은 $1$이므로, $1$에서 위의 두 확률을 빼서 쉽게 구할 수도 있습니다.
$$P(X=1) = 1 - \{P(X=0) + P(X=2)\} = 1 - \left(\frac{6}{16} + \frac{2}{16}\right) = 1 - \frac{8}{16} = \frac{8}{16}$$
3단계: 확률분포표 작성하기
구한 확률을 바탕으로 $X$의 확률분포표를 만들어 정리해 봅시다.
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ | 합계 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P(X=x)$ | $\frac{6}{16}$ | $\frac{8}{16}$ | $\frac{2}{16}$ | $1$ |
4단계: 평균 $\mathrm{E}(X)$ 구하기
평균은 (확률변수 $\times$ 확률)의 총합입니다.
$$\mathrm{E}(X) = \left(0 \times \frac{6}{16}\right) + \left(1 \times \frac{8}{16}\right) + \left(2 \times \frac{2}{16}\right)$$
$$\mathrm{E}(X) = 0 + \frac{8}{16} + \frac{4}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}$$
5단계: 제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$ 구하기
분산을 구하기 위해 $X^2$의 평균을 구합니다.
$$\mathrm{E}(X^2) = \left(0^2 \times \frac{6}{16}\right) + \left(1^2 \times \frac{8}{16}\right) + \left(2^2 \times \frac{2}{16}\right)$$
$$\mathrm{E}(X^2) = 0 + \frac{8}{16} + \left(4 \times \frac{2}{16}\right) = \frac{8}{16} + \frac{8}{16} = \frac{16}{16} = 1$$
6단계: 분산 $\mathrm{V}(X)$ 구하기
이제 분산 공식인 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$에 대입합니다.
$$\mathrm{V}(X) = 1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2$$
$$\mathrm{V}(X) = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16}$$
답
정답은 **④ $\frac{7}{16}$** 입니다.
확인해보기
만약 이 두 상자를 동시에 던져서 나온 두 수의 합을 새로운 확률변수 $Y$라고 한다면, $Y$가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값과 가장 큰 값은 각각 무엇일까요? 스스로 생각해보며 개념을 다져보세요!