어떤 문제인가
이 문제는 서로 같은 색의 카드를 세 명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **중복조합 (${_nH_r}$)**: 서로 다른 $n$개에서 중복을 허용하여 $r개를 택하는 조합으로, 같은 종류의 물건을 서로 다른 사람에게 나누어 줄 때 사용합니다.
- 여사건의 확률/경우의 수: "적어도 ~이다" 또는 "조건을 만족하지 않는 경우"를 전체에서 빼서 구하는 것이 훨씬 간단할 때 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기 (아무런 조건이 없을 때)
먼저 조건 (가), (나)를 생각하지 않고, 8장의 카드를 세 학생 $\mathrm{A, B, C}$에게 남김없이 나누어 주는 전체 경우의 수를 구해봅시다.
같은 색의 카드는 서로 구별하지 않으므로, 각 색깔별로 나누어 주는 경우의 수를 구한 뒤 곱해주면 됩니다.
- 빨간색 카드 (1장): 3명 중 1명에게 줍니다.
$${_3H_1} = \binom{3+1-1}{1} = 3\text{가지}$$
- 파란색 카드 (1장): 3명 중 1명에게 줍니다.
$${_3H_1} = 3\text{가지}$$
- 노란색 카드 (3장): 3명에게 중복을 허용하여 3장을 나누어 줍니다.
$${_3H_3} = \binom{3+3-1}{3} = \binom{5}{3} = 10\text{가지}$$
- 보라색 카드 (3장): 3명에게 중복을 허용하여 3장을 나누어 줍니다.
$${_3H_3} = 10\text{가지}$$
따라서 아무 조건 없이 카드를 나누어 주는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 3 \times 3 \times 10 \times 10 = 900\text{가지}$$
2단계: 조건 (가)를 만족하는 경우의 수 구하기
> 조건 (가): 두 학생 $\mathrm{A, B}$는 각각 1장 이상의 카드를 받는다.
이 조건을 만족하기 위해 여사건을 이용합시다. 즉, 전체 경우의 수($900$가지)에서 **"$\mathrm{A}$가 카드를 한 장도 받지 못하는 경우"와 "$\mathrm{B}$가 카드를 한 장도 받지 못하는 경우"**를 제외할 것입니다.
- **$\mathrm{A}$가 0장을 받는 경우 ($n(A_0)$)**: 모든 카드를 $\mathrm{B, C}$ 두 사람에게만 나누어 줍니다.
* 빨간색: ${_2H_1} = 2$
* 파란색: ${_2H_1} = 2$
* 노란색: ${_2H_3} = \binom{4}{3} = 4$
* 보라색: ${_2H_3} = 4$
* $n(A_0) = 2 \times 2 \times 4 \times 4 = 64\text{가지}$
- **$\mathrm{B}$가 0장을 받는 경우 ($n(B_0)$)**: 대칭성에 의해 $\mathrm{A}$가 0장을 받는 경우와 같습니다.
* $n(B_0) = 64\text{가지}$
- **$\mathrm{A}$와 $\mathrm{B}$ 모두 0장을 받는 경우 ($n(A_0 \cap B_0)$)**: 모든 카드를 $\mathrm{C}$가 다 가져가는 경우입니다.
* $n(A_0 \cap B_0) = 1\text{가지}$
따라서 조건 (가)를 만족하지 않는 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$n(A_0 \cup B_0) = n(A_0) + n(B_0) - n(A_0 \cap B_0) = 64 + 64 - 1 = 127\text{가지}$$
이제 전체에서 이 경우를 빼면 조건 (가)를 만족하는 경우의 수를 얻을 수 있습니다.
$$\text{조건 (가) 만족} = 900 - 127 = 773\text{가지}$$
3단계: 조건 (나)를 만족하지 않는 여사건 구하기
> 조건 (나): 학생 $\mathrm{A}$가 받는 카드의 색의 가짓수는 3 이하이다.
이 조건의 여사건은 **"학생 $\mathrm{A}$가 4가지 색의 카드를 모두 받는 경우"**입니다.
우리는 **조건 (가)를 만족하면서 동시에 조건 (나)를 만족하지 않는(즉, $\mathrm{A}$가 4가지 색을 모두 받는) 경우의 수**를 구해서 2단계의 결과($773$가지)에서 빼줄 것입니다.
$\mathrm{A}$가 4가지 색의 카드를 모두 받으려면, 빨간색, 파란색, 노란색, 보라색 카드를 각각 최소 1장씩은 받아야 합니다.
- **$\mathrm{A}$에게 모든 색의 카드를 먼저 1장씩 나누어 줍니다.**
* 빨간색(1장), 파란색(1장)은 이미 $\mathrm{A}$가 가져갔으므로 남은 개수는 0장입니다. (나누어 줄 필요 없음)
* 노란색은 2장, 보라색은 2장이 남았습니다.
* 이 상태에서 $\mathrm{A}$는 이미 카드를 받았으므로, 조건 (가) 중 "$\mathrm{A}$는 1장 이상 받는다"는 자동으로 만족됩니다.
- **남은 카드(노란색 2장, 보라색 2장)를 $\mathrm{A, B, C}$에게 자유롭게 나누어 줍니다.**
* 노란색 2장 분배: ${_3H_2} = \binom{4}{2} = 6\text{가지}$
* 보라색 2장 분배: ${_3H_2} = 6\text{가지}$
* 이 경우의 수는 $6 \times 6 = 36\text{가지}$입니다.
- **하지만 이 36가지 중에는 $\mathrm{B}$가 카드를 한 장도 받지 못하는 경우가 포함되어 있습니다.** (조건 (가)를 만족해야 하므로 이를 빼야 합니다.)
* $\mathrm{B}$가 0장을 받는 경우: 남은 노란색 2장과 보라색 2장을 $\mathrm{A, C}$ 두 사람에게만 나누어 줍니다.
* 노란색 2장 분배: ${_2H_2} = \binom{3}{2} = 3\text{가지}$
* 보라색 2장 분배: ${_2H_2} = 3\text{가지}$
* 이 경우의 수는 $3 \times 3 = 9\text{가지}$입니다.
따라서, **조건 (가)를 만족하면서 $\mathrm{A}$가 4가지 색을 모두 받는 경우의 수**는 다음과 같습니다.
$$36 - 9 = 27\text{가지}$$
4단계: 최종 계산
조건 (가)를 만족하는 전체 경우의 수에서, 조건 (나)를 만족하지 않는 경우의 수를 빼줍니다.
$$\text{최종 경우의 수} = 773 - 27 = 746\text{가지}$$
답
**② $746$**
확인해보기
다음 질문에 스스로 답해보며 오늘 배운 개념을 확인해 보세요.
> 질문: 모양과 크기가 같은 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있습니다. 이 공 5개를 서로 다른 3개의 상자 $X, Y, Z$에 빈 상자가 있을 수 있도록 나누어 담는 경우의 수는 몇 가지일까요? (중복조합을 사용해 계산해 보세요.)