어떤 문제인가
이 문제는 확률과 통계 과목에서 자주 다루는 이항분포의 정규분포 근사를 활용하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 수학적 확률: 두 집합에서 부분집합을 각각 고를 때, 교집합의 원소 개수가 1이 될 확률을 구합니다.
- 이항분포 $B(n, p)$: 같은 시행을 독립적으로 여러 번 반복할 때, 특정 사건이 일어나는 횟수의 분포를 이해합니다.
- 정규분포로의 근사: 시행 횟수 $n$이 충분히 클 때, 이항분포를 정규분포 $N(m, \sigma^2)$로 바꾸어 표준정규분포표를 이용해 확률을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 한 번의 시행에서 '교집합의 원소 개수가 1'일 확률 $p$ 구하기
먼저 전체 경우의 수를 구해봅시다.
- 집합 $A = \{2, 3, 4\}$의 부분집합의 개수는 $2^3 = 8$개입니다.
- 집합 $B = \{2, 3\}$의 부분집합의 개수는 $2^2 = 4$개입니다.
- 따라서 임의로 하나씩 선택하는 전체 경우의 수는 $8 \times 4 = 32$가지입니다.
이제 선택한 두 부분집합 $X$ ( $A$의 부분집합)와 $Y$ ( $B$의 부분집합)에 대하여, 교집합의 원소 개수가 1인 경우($|X \cap Y| = 1$)를 찾아봅시다.
교집합의 원소가 될 수 있는 후보는 $A$와 $B$에 공통으로 들어있는 원소인 $2$ 또는 $3$뿐입니다.
$Y$의 선택에 따라 나누어 생각하면 계산이 아주 쉬워집니다.
- 경우 1: $Y=\{2\}$
- $X$는 2를 포함해야 합니다. 3과 4의 포함 여부는 교집합에 영향을 주지 않습니다.
- 가능한 $X$는 $\{2\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,3,4\}$로 4가지입니다.
- 경우 2: $Y=\{3\}$
- $X$는 3을 포함해야 합니다. 2와 4의 포함 여부는 자유롭습니다.
- 가능한 $X$는 $\{3\},\{2,3\},\{3,4\},\{2,3,4\}$로 4가지입니다.
- 경우 3: $Y=\{2,3\}$
- $X$에는 2와 3 중 정확히 하나가 포함되어야 합니다. 4의 포함 여부는 자유롭습니다.
- 가능한 $X$는 $\{2\},\{2,4\},\{3\},\{3,4\}$로 4가지입니다.
- 경우 4: $Y=\emptyset$
- 교집합이 항상 공집합이므로 조건을 만족하는 경우는 0가지입니다.
따라서 조건을 만족하는 경우의 수는 $4+4+4+0=12$가지입니다.
따라서 한 번의 시행에서 기록하는 수가 1일 확률 $p$는 다음과 같습니다.
$$p = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$$
2단계: 이항분포 설정하고 정규분포로 근사하기
이 시행을 $n = 15360$번 반복합니다. 기록한 수가 1인 횟수를 확률변수 $X$라고 하면, $X$는 이항분포를 따릅니다.
$$X \sim B\left(15360, \frac{3}{8}\right)$$
시행 횟수 $n$이 매우 크므로, 이항분포를 정규분포 $N(m, \sigma^2)$로 근사할 수 있습니다. 평균($m$)과 표준편차($\sigma$)를 구해봅시다.
- 평균 ($m$):
$$m = np = 15360 \times \frac{3}{8} = 1920 \times 3 = 5760$$
- 분산 ($\sigma^2$):
$$\sigma^2 = np(1-p) = 5760 \times \frac{5}{8} = 720 \times 5 = 3600$$
- 표준편차 ($\sigma$):
$$\sigma = \sqrt{3600} = 60$$
따라서 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포 $N(5760, 60^2)$을 따릅니다.
3단계: 표준화하여 확률 $k$ 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 기록한 수가 1인 횟수 $X$가 5880 이상일 확률, 즉 $\text{P}(X \ge 5880)$입니다.
표준정규분포변수 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$를 이용하여 표준화해 봅시다.
$$X = 5880 \ \Longrightarrow \ Z = \frac{5880 - 5760}{60} = \frac{120}{60} = 2$$
따라서 구하고자 하는 확률 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = \text{P}(X \ge 5880) = \text{P}(Z \ge 2.0)$$
표준정규분포의 대칭성에 의해,
$$\text{P}(Z \ge 2.0) = 0.5 - \text{P}(0 \le Z \le 2.0)$$
주어진 표준정규분포표에서 $\text{P}(0 \le Z \le 2.0) = 0.477$이므로,
$$k = 0.5 - 0.477 = 0.023$$
4단계: 최종 값 계산하기
문제에서 요구한 값은 $1000 \times k$입니다.
$$1000 \times k = 1000 \times 0.023 = 23$$
답
$$23$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 이 시행을 $15360$번이 아니라 $3840$번만 반복한다고 했을 때, 기록한 수가 1인 횟수의 평균과 표준편차는 각각 얼마가 될까요? (직접 계산해 보세요!)