어떤 문제인가
이 문제는 두 학생 A, B가 각각 카드를 뽑고, 정해진 규칙에 따라 카드를 내려놓거나 내려놓지 않았을 때 귤을 받게 되는 확률을 구하는 확률의 곱셈정리와 여사건의 확률에 관한 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 독립사건의 확률: 학생 A와 학생 B가 카드를 선택하는 행동은 서로에게 영향을 주지 않는 독립적인 행동입니다. 따라서 두 사건이 동시에 일어날 확률은 각각의 확률을 곱해서 구합니다.
- 조건에 따른 경우의 수 분류: 문제에 제시된 3가지 규칙에 따라, A와 B가 카드를 내려놓는 경우와 내려놓지 않는 경우를 나누어 각각 귤을 누가 받게 되는지 분석해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 학생 A가 카드를 내려놓을 확률 구하기
학생 A는 $\{1, 8\}$이 적힌 2장의 카드 중 하나를 임의로 선택합니다.
규칙에 따르면, A는 선택한 카드가 8일 때만 카드를 바닥에 내려놓습니다.
따라서 학생 A가 카드를 내려놓을 확률과 내려놓지 않을 확률은 다음과 같습니다.
- A가 카드를 내려놓을 확률:
$$P(\text{A 내려놓음}) = \frac{1}{2} \quad (\text{카드 } 8\text{을 뽑은 경우})$$
- A가 카드를 내려놓지 않을 확률:
$$P(\text{A 안 내려놓음}) = \frac{1}{2} \quad (\text{카드 } 1\text{을 뽑은 경우})$$
2단계: 학생 B가 카드를 내려놓을 확률 구하기
학생 B는 $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$이 적힌 6장의 카드 중 하나를 임의로 선택합니다.
규칙에 따르면, B는 **선택한 카드가 자연수 $n$보다 작거나 같을 때만** 카드를 바닥에 내려놓습니다.
B가 가진 카드 중 $n$ 이하인 카드의 개수를 $k$개라고 해봅시다. ($n$은 7 이하의 자연수이므로 $k$는 $n$의 값에 따라 결정됩니다.)
- B가 카드를 내려놓을 확률:
$$P(\text{B 내려놓음}) = \frac{k}{6}$$
- B가 카드를 내려놓지 않을 확률:
$$P(\text{B 안 내려놓음}) = 1 - \frac{k}{6} = \frac{6-k}{6}$$
3단계: 규칙에 따라 귤을 받을 확률 $p$와 $q$ 식 세우기
이제 게임의 규칙에 따라 A가 귤을 받을 확률 $p$와 B가 귤을 받을 확률 $q$를 구해보겠습니다. A와 B의 행동 조합은 총 4가지가 있습니다.
- 경우 1) 두 명 모두 카드를 내려놓은 경우
- 확률: $P(\text{A 내려놓음}) \times P(\text{B 내려놓음}) = \frac{1}{2} \times \frac{k}{6} = \frac{k}{12}$
- 귤을 받는 사람: 더 큰 수가 적힌 카드를 내려놓은 학생이 받습니다. A가 내려놓은 카드는 항상 $8$이고, B가 내려놓은 카드는 아무리 커도 $7$ 이하이므로, 항상 A가 귤을 받습니다.
- 경우 2) A만 카드를 내려놓은 경우 (B는 안 내려놓음)
- 확률: $P(\text{A 내려놓음}) \times P(\text{B 안 내려놓음}) = \frac{1}{2} \times \frac{6-k}{6} = \frac{6-k}{12}$
- 귤을 받는 사람: 카드를 내려놓지 않은 학생이 받으므로, B가 귤을 받습니다.
- 경우 3) B만 카드를 내려놓은 경우 (A는 안 내려놓음)
- 확률: $P(\text{A 안 내려놓음}) \times P(\text{B 내려놓음}) = \frac{1}{2} \times \frac{k}{6} = \frac{k}{12}$
- 귤을 받는 사람: 카드를 내려놓지 않은 학생이 받으므로, A가 귤을 받습니다.
- 경우 4) 두 명 모두 카드를 내려놓지 않은 경우
- 확률: $P(\text{A 안 내려놓음}) \times P(\text{B 안 내려놓음}) = \frac{1}{2} \times \frac{6-k}{6} = \frac{6-k}{12}$
- 귤을 받는 사람: 아무도 받지 못합니다.
이제 $p$와 $q$를 정리해 봅시다.
- **A가 귤을 받을 확률 $p$**는 경우 1과 경우 3의 확률을 더한 것입니다.
$$p = \frac{k}{12} + \frac{k}{12} = \frac{2k}{12} = \frac{k}{6}$$
- **B가 귤을 받을 확률 $q$**는 경우 2의 확률입니다.
$$q = \frac{6-k}{12}$$
4단계: $p = q$ 조건을 이용하여 $k$와 $n$ 구하기
문제에서 $p = q$라고 했으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.
$$\frac{k}{6} = \frac{6-k}{12}$$
양변에 12를 곱하여 방정식을 풀어줍니다.
$$2k = 6 - k$$
$$3k = 6 \implies k = 2$$
B가 가진 카드 $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ 중에서 $n$ 이하인 카드의 개수($k$)가 2개여야 합니다.
가장 작은 카드부터 차례대로 2개는 $2$와 $3$입니다.
따라서 $n$ 이하인 카드가 $2, 3$뿐이어야 하므로, 자연수 $n$은 **$3$**이 되어야 합니다. (만약 $n=4$라면 $2, 3, 4$로 3개가 되기 때문입니다.)
5단계: 최종 값 계산하기
$n = 3$이고, 이때의 확률 $p$는 다음과 같습니다.
$$p = \frac{k}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $24(n + p)$이므로 대입하여 계산합니다.
$$24(n + p) = 24 \left(3 + \frac{1}{3}\right) = 24 \times 3 + 24 \times \frac{1}{3} = 72 + 8 = 80$$
답
$$80$$
확인해보기
학생 B가 가진 카드가 $\{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$일 때, 만약 자연수 $n$이 $5$라면 학생 B가 카드를 내려놓을 확률은 얼마가 될까요? 스스로 계산해 보세요!