어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $0$으로 가까이 갈 때, 삼각함수를 포함한 식의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 머릿속에 꼭 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $x \to 0$일 때, $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$이 성립합니다.
- 형태 맞추기: 공식 $\lim_{\square \to 0} \frac{\tan \square}{\square} = 1$에서 볼 수 있듯이, **탄젠트의 각도($\square$)와 분모의 모양($\square$)이 완벽히 일치**해야 공식을 적용할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 공식에 맞게 식 변형하기 (형태 맞추기)
우리가 구해야 하는 식은 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan 6x}{2x}$입니다.
탄젠트 안의 각도가 $6x$이므로, 분모에도 똑같이 $6x$가 있어야 공식을 사용할 수 있습니다. 하지만 지금 분모에는 $2x$가 있네요.
식의 원래 값을 변화시키지 않으면서 분모를 $6x$로 만들기 위해, 분자와 분모에 적절한 식을 곱해줍니다. 다음과 같이 식을 쪼개어 써볼 수 있습니다.
$$\frac{\tan 6x}{2x} = \frac{\tan 6x}{6x} \times \frac{6x}{2x}$$
2단계: 식 단순화하기
위에서 변형한 식에서 우측에 있는 $\frac{6x}{2x}$는 $x$가 $0$이 아니므로 약분하여 간단한 상수로 만들 수 있습니다.
$$\frac{6x}{2x} = 3$$
따라서 원래 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{\tan 6x}{2x} = 3 \times \frac{\tan 6x}{6x}$$
3단계: 극한값 구하기
이제 전체 식에 극한 $\lim_{x \to 0}$을 적용해 봅시다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 6x}{2x} = \lim_{x \to 0} \left( 3 \times \frac{\tan 6x}{6x} \right)$$
여기서 $x \to 0$일 때 $6x \to 0$이므로, 삼각함수의 극한 공식에 의해 다음이 성립합니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 6x}{6x} = 1$$
따라서 최종 극한값은 다음과 같습니다.
$$3 \times 1 = 3$$
답
③ $3$
확인해보기
오늘 배운 '형태 맞추기'를 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 문제를 스스로 해결해 보세요.
> 질문: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{3x}$의 값은 무엇일까요? (힌트: $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$ 공식을 이용해 보세요!)