어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수가 포함된 무리함수의 정적분 값을 구하는 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 고등학교 수학에서 배우는 몇 가지 핵심 개념을 차근차근 적용하면 쉽게 해결할 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수의 기본 항등식: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$을 이용하여 식을 간단하게 만듭니다.
- 제곱근의 성질과 부호 판별: $\sqrt{A^2} = |A|$ 임을 기억하고, 주어진 적분 구간에서 삼각함수의 부호를 확인합니다.
- 치환적분법: 복잡한 부분을 새로운 변수로 치환하여 적분하기 쉬운 형태로 바꿉니다.
단계별 풀이
1단계: 루트 안의 식 인수분해하기
먼저 피적분함수(적분을 당하는 함수)의 루트 안을 살펴봅시다. 공통인수인 $\sin x$로 묶어줄 수 있습니다.
$$\sin x - \sin^3 x = \sin x (1 - \sin^2 x)$$
여기서 삼각함수의 가장 기본 공식인 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$을 떠올려 보세요. 이 식을 변형하면 $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$가 됩니다. 이를 대입해 봅시다.
$$\sin x (1 - \sin^2 x) = \sin x \cos^2 x$$
따라서 원래의 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\sqrt{\sin x - \sin^3 x} = \sqrt{\sin x \cos^2 x}$$
2단계: 루트 벗기기와 부호 확인하기
루트 안의 곱셈을 각각 나누어 써봅시다.
$$\sqrt{\sin x \cos^2 x} = \sqrt{\sin x} \cdot \sqrt{\cos^2 x} = \sqrt{\sin x} \cdot |\cos x|$$
여기서 아주 중요한 과정이 있습니다! $\sqrt{\cos^2 x}$는 그냥 $\cos x$가 아니라 절댓값 기호를 붙인 $|\cos x|$로 나와야 합니다.
이제 적분 구간인 $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ (제1사분면)를 봅시다.
이 구간에서 $\cos x$의 값은 항상 $0$보다 크거나 같습니다 ($\cos x \ge 0$).
따라서 절댓값 기호를 그냥 벗고 나올 수 있습니다.
$$|\cos x| = \cos x$$
결과적으로 우리가 구해야 할 정적분 식은 다음과 같이 아주 간단해집니다.
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin x} \cos x dx$$
3단계: 치환적분법 적용하기
이제 식의 형태를 보니, $\sin x$를 미분한 형태인 $\cos x$가 곱해져 있습니다. 이럴 때는 치환적분법을 사용하면 편리합니다.
$\sin x = t$로 치환해 봅시다.
양변을 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$\cos x dx = dt$$
치환을 했으니 적분 구간(위끝과 아래끝)도 $t$에 맞춰서 바꾸어 주어야 합니다.
- $x = 0$ 일 때, $t = \sin 0 = 0$
- $x = \frac{\pi}{2}$ 일 때, $t = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
새로운 변수 $t$로 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$\int_{0}^{1} \sqrt{t} dt$$
4단계: 정적분 계산하기
$\sqrt{t}$는 지수 법칙에 의해 $t^{\frac{1}{2}}$로 쓸 수 있습니다. 다항함수의 적분 공식을 적용해 봅시다.
$$\int_{0}^{1} t^{\frac{1}{2}} dt = \left[ \frac{1}{\frac{1}{2} + 1} t^{\frac{1}{2} + 1} \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1}$$
이제 위끝 $1$과 아래끝 $0$을 대입하여 계산합니다.
$$\left( \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} \right) - \left( \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} \right) = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3}$$
답
정답은 **④ $\frac{2}{3}$** 입니다.
확인해보기
만약 적분 구간이 $[0, \frac{\pi}{2}]$가 아니라, **$[\frac{\pi}{2}, \pi]$**였다면 2단계에서 $\sqrt{\cos^2 x}$는 어떻게 풀려나왔을까요? 그리고 이때의 최종 정적분 값은 어떻게 변할지 스스로 생각해보세요.