어떤 문제인가
이 문제는 주어진 부등식을 이용해서 수열의 극한값을 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 수열의 극한의 대소 관계 (샌드위치 정리 / 조임 정리): 두 수열 사이에서 끼어 있는 수열이 있을 때, 양끝 수열의 극한값이 같으면 가운데 낀 수열의 극한값도 같아진다는 성질입니다.
- 식의 변형과 극한 계산: 복잡한 식의 극한을 구할 때, 우리가 알고 있는 형태(예: $\frac{a_n}{n}$)가 나타나도록 분자, 분모를 적절한 식으로 나누어 변형합니다.
단계별 풀이
1단계: $\frac{a_n}{n}$의 극한값 구하기
주어진 조건식은 $a_n$에 대한 부등식입니다.
$$\sqrt{9n^2-5} + 2n < a_n < 5n+1$$
우리가 구해야 하는 식을 보면 $a_n$이 $n$에 대한 1차식과 비슷한 크기를 가질 것 같다는 힌트를 얻을 수 있어요. 그래서 각 변을 자연수 $n$으로 나누어 $\frac{a_n}{n}$의 범위를 구해봅니다. ($n$은 자연수이므로 양수여서 부등호 방향은 바뀌지 않아요.)
$$\frac{\sqrt{9n^2-5} + 2n}{n} < \frac{a_n}{n} < \frac{5n+1}{n}$$
이제 양끝 식의 $n \to \infty$일 때의 극한값을 각각 구해봅시다.
- 왼쪽 식의 극한:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^2-5} + 2n}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{\frac{9n^2-5}{n^2}} + 2 \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9 - \frac{5}{n^2}} + 2 \right) = \sqrt{9} + 2 = 5$$
- 오른쪽 식의 극한:
$$\lim_{n \to \infty} \frac{5n+1}{n} = \lim_{n \to \infty} \left( 5 + \frac{1}{n} \right) = 5$$
양끝의 극한값이 모두 $5$로 같으므로, 샌드위치 정리에 의해 다음을 얻을 수 있습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5$$
2단계: 구하고자 하는 식을 $\frac{a_n}{n}$ 형태로 변형하기
우리가 구해야 하는 극한식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{(a_n+2)^2}{n a_n + 5n^2 - 2}$$
우리는 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5$라는 사실을 알고 있으므로, 이 식에 $\frac{a_n}{n}$ 모양이 나타나도록 분자와 분모를 각각 $n^2$으로 나누어 줍니다.
- 분자 변형:
$$\frac{(a_n+2)^2}{n^2} = \left( \frac{a_n+2}{n} \right)^2 = \left( \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n} \right)^2$$
- 분모 변형:
$$\frac{n a_n + 5n^2 - 2}{n^2} = \frac{n a_n}{n^2} + \frac{5n^2}{n^2} - \frac{2}{n^2} = \frac{a_n}{n} + 5 - \frac{2}{n^2}$$
따라서 구하고자 하는 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n} \right)^2}{\frac{a_n}{n} + 5 - \frac{2}{n^2}}$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 $n \to \infty$일 때 각각의 항이 어디로 수렴하는지 대입해 봅시다.
- $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{n} = 5$
- $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0$
- $\lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0$
이 값들을 식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\left( \frac{a_n}{n} + \frac{2}{n} \right)^2}{\frac{a_n}{n} + 5 - \frac{2}{n^2}} = \frac{(5 + 0)^2}{5 + 5 - 0} = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$$
답
정답은 **③ $\frac{5}{2}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 '샌드위치 정리'와 '식 변형'을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
질문: 수열 $\{b_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $2n^2 - 3 < b_n < 2n^2 + 5n$을 만족할 때, $\lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{n^2}$의 값은 얼마일까요? (힌트: 양변을 $n^2$으로 나누어 보세요!)