어떤 문제인가
이 문제는 주어진 곡선과 $x$축, 그리고 두 직선으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고, $x$축에 수직인 단면이 모두 정삼각형인 입체도형의 부피를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요:
- 입체도형의 부피와 정적분: $x$축에 수직인 단면의 넓이를 $S(x)$라고 할 때, 구간 $[a, b]$에서의 입체도형의 부피 $V$는 $V = \int_{a}^{b} S(x) \, dx$로 구합니다.
- 정삼각형의 넓이 공식: 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이는 $\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$입니다.
- 부분적분법: $\ln x$가 포함된 함수를 적분할 때는 $\int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx$ 공식을 사용합니다.
단계별 풀이
1단계: 단면의 넓이 $S(x)$ 구하기
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 $y$인 정삼각형입니다.
이때 곡선의 방정식이 $y = \sqrt{x + x \ln x}$이므로, $x$에서의 단면인 정삼각형의 한 변의 길이 $s(x)$는 다음과 같습니다.
$$s(x) = \sqrt{x + x \ln x}$$
한 변의 길이가 $s(x)$인 정삼각형의 넓이 $S(x)$는 공식에 의해 다음과 같이 정리됩니다.
$$S(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} \{s(x)\}^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (x + x \ln x)$$
2단계: 부피를 구하기 위한 정적분 식 세우기
구하고자 하는 입체도형의 부피 $V$는 $x=1$부터 $x=2$까지 단면의 넓이 $S(x)$를 쌓아서(적분해서) 구합니다.
$$V = \int_{1}^{2} S(x) \, dx = \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{3}}{4} (x + x \ln x) \, dx$$
상수인 $\frac{\sqrt{3}}{4}$을 인테그랄 밖으로 꺼내어 식을 단순하게 만듭시다.
$$V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{1}^{2} (x + x \ln x) \, dx$$
3단계: 부정적분 구하기 (부분적분법 적용)
피적분함수인 $x + x \ln x$의 부정적분을 구해봅시다. 이 식은 두 부분으로 나누어 적분할 수 있습니다.
$$\int (x + x \ln x) \, dx = \int x \, dx + \int x \ln x \, dx$$
- 첫 번째 항은 쉽게 적분됩니다:
$$\int x \, dx = \frac{1}{2}x^2$$
- 두 번째 항인 $\int x \ln x \, dx$는 부분적분법을 사용합니다.
- $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} \, dx$
- $dv = x \, dx \implies v = \frac{1}{2}x^2$
공식을 적용하면:
$$\int x \ln x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \int \left( \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \right) \, dx$$
$$\int x \ln x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx$$
$$\int x \ln x \, dx = \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2$$
두 결과를 합치면 전체 부정적분은 다음과 같습니다.
$$\int (x + x \ln x) \, dx = \frac{1}{2}x^2 + \left( \frac{1}{2}x^2 \ln x - \frac{1}{4}x^2 \right) = \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x^2 \ln x$$
4단계: 정적분 계산하고 최종 부피 구하기
이제 위에서 구한 부정적분에 위끝 $2$와 아래끝 $1$을 대입하여 값을 계산합니다.
$$\left[ \frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x^2 \ln x \right]_{1}^{2}$$
- $x=2$ 대입:
$$\frac{1}{4}(2)^2 + \frac{1}{2}(2)^2 \ln 2 = 1 + 2\ln 2$$
- $x=1$ 대입:
$$\frac{1}{4}(1)^2 + \frac{1}{2}(1)^2 \ln 1 = \frac{1}{4} + 0 = \frac{1}{4}$$
두 값을 뺍니다:
$$(1 + 2\ln 2) - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + 2\ln 2 = \frac{3 + 8\ln 2}{4}$$
마지막으로 앞서 꺼내두었던 상수 $\frac{\sqrt{3}}{4}$을 곱해줍니다.
$$V = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{3 + 8\ln 2}{4} = \frac{\sqrt{3}(3 + 8\ln 2)}{16}$$
답
정답은 ①번인 $\frac{\sqrt{3}(3+8\ln 2)}{16}$ 입니다.
확인해보기
만약 이 입체도형의 단면이 정삼각형이 아니라, $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형이라면 이 입체도형의 부피는 어떻게 변할까요? 직접 식을 세워보고 부피를 구해보세요! (힌트: 정사각형의 넓이는 한 변의 길이의 제곱입니다.)