반갑습니다! 오늘도 수학을 쉽고 재미있게, 그리고 완벽하게 이해할 수 있도록 선생님이 차근차근 설명해 줄게요. 준비되었나요?
어떤 문제인가
이 문제는 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 매개변수 함수의 미분법: 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선에서 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$는 다음과 같이 구합니다.
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad \left(\text{단, } \frac{dx}{dt} \neq 0\right)$$
- 삼각함수의 항등식: $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$과 배각 공식 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$를 이용해 식을 간단히 정리합니다.
- 곡선과 직선의 교점: 두 도형이 만나는 점 $\mathrm{P}$의 좌표를 구하기 위해 연립방정식을 풉니다.
단계별 풀이
1단계: 교점 $\mathrm{P}$에서의 매개변수 $t$의 값 구하기
곡선 $C$가 직선 $y = 3x - 5e$와 만난다고 했으므로, 곡선의 식 $x(t)$와 $y(t)$를 직선의 방정식에 대입해 봅시다.
$$y = 3x - 5e$$
$$e^{4t}(1 - 3\cos^2 \pi t) = 3 \cdot e^{4t}(1 + \sin^2 \pi t) - 5e$$
이 식을 정리해서 $t$를 구해봅시다. $5e$를 좌변으로, $e^{4t}$가 포함된 항들을 우변으로 모아볼게요.
$$5e = 3e^{4t}(1 + \sin^2 \pi t) - e^{4t}(1 - 3\cos^2 \pi t)$$
$$5e = e^{4t} \left[ 3(1 + \sin^2 \pi t) - (1 - 3\cos^2 \pi t) \right]$$
$$5e = e^{4t} \left[ 3 + 3\sin^2 \pi t - 1 + 3\cos^2 \pi t \right]$$
$$5e = e^{4t} \left[ 2 + 3(\sin^2 \pi t + \cos^2 \pi t) \right]$$
여기서 삼각함수의 가장 중요한 성질인 $\sin^2 \pi t + \cos^2 \pi t = 1$을 적용하면 식은 아주 간단해집니다!
$$5e = e^{4t} \left[ 2 + 3(1) \right]$$
$$5e = 5e^{4t}$$
$$e^1 = e^{4t}$$
따라서 지수를 비교하면 $4t = 1$이 되므로, 교점 $\mathrm{P}$에서의 매개변수 값은 **$t = \frac{1}{4}$** 임을 알 수 있습니다.
2단계: 매개변수 미분을 이용해 $\frac{dx}{dt}$와 $\frac{dy}{dt}$ 구하기
이제 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$를 구하기 위해, $x$와 $y$를 각각 $t$에 대해 미분해 봅시다. 곱의 미분법과 합성함수의 미분법을 사용합니다.
(1) $\frac{dx}{dt}$ 구하기
$$x = e^{4t}(1 + \sin^2 \pi t)$$
$$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t}) \cdot (1 + \sin^2 \pi t) + e^{4t} \cdot \frac{d}{dt}(1 + \sin^2 \pi t)$$
- 참고: $\frac{d}{dt}(\sin^2 \pi t) = 2\sin \pi t \cdot \cos \pi t \cdot \pi = \pi \sin 2\pi t$ (배각 공식 사용)
$$\frac{dx}{dt} = 4e^{4t}(1 + \sin^2 \pi t) + e^{4t}(\pi \sin 2\pi t)$$
$$\frac{dx}{dt} = e^{4t} \left[ 4(1 + \sin^2 \pi t) + \pi \sin 2\pi t \right]$$
(2) $\frac{dy}{dt}$ 구하기
$$y = e^{4t}(1 - 3\cos^2 \pi t)$$
$$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{4t}) \cdot (1 - 3\cos^2 \pi t) + e^{4t} \cdot \frac{d}{dt}(1 - 3\cos^2 \pi t)$$
- 참고: $\frac{d}{dt}(-3\cos^2 \pi t) = -3 \cdot 2\cos \pi t \cdot (-\sin \pi t) \cdot \pi = 3\pi \sin 2\pi t$
$$\frac{dy}{dt} = 4e^{4t}(1 - 3\cos^2 \pi t) + e^{4t}(3\pi \sin 2\pi t)$$
$$\frac{dy}{dt} = e^{4t} \left[ 4(1 - 3\cos^2 \pi t) + 3\pi \sin 2\pi t \right]$$
3단계: $t = \frac{1}{4}$ 대입하여 접선의 기울기 구하기
우리가 구하고자 하는 접선의 기울기는 $t = \frac{1}{4}$일 때의 $\frac{dy}{dx}$입니다. 먼저 필요한 삼각함수 값들을 구해놓을까요?
- $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$
- $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \cos^2 \frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}$
- $\sin\left(2\pi \cdot \frac{1}{4}\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$
- $e^{4t} = e^{4 \cdot \frac{1}{4}} = e$
이제 이 값들을 미분한 식에 대입해 봅시다.
(1) $t = \frac{1}{4}$ 일 때의 $\frac{dx}{dt}$
$$\frac{dx}{dt} = e \left[ 4\left(1 + \frac{1}{2}\right) + \pi(1) \right] = e \left[ 4 \cdot \frac{3}{2} + \pi \right] = e(6 + \pi)$$
(2) $t = \frac{1}{4}$ 일 때의 $\frac{dy}{dt}$
$$\frac{dy}{dt} = e \left[ 4\left(1 - 3 \cdot \frac{1}{2}\right) + 3\pi(1) \right] = e \left[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + 3\pi \right] = e(-2 + 3\pi)$$
(3) 접선의 기울기 $\frac{dy}{dx}$ 계산
$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{e(3\pi - 2)}{e(\pi + 6)} = \frac{3\pi - 2}{\pi + 6}$$
답
따라서 구하는 접선의 기울기는 **$\frac{3\pi - 2}{\pi + 6}$ 이므로, 정답은 ②**번입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x = t^2 + t$, $y = t^3 - t$가 있습니다. 이 곡선 위의 점 중 $t = 2$에 대응하는 점에서의 접선의 기울기를 구하려면 어떤 식을 세워야 할까요? (직접 계산하지 않고 식만 떠올려 보세요!)