어떤 문제인가
이 문제는 곡선 위의 한 점에서 그은 접선의 성질을 이용하여 새로운 함수를 정의하고, 그 함수의 정적분 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **접선의 방정식과 $y$절편**: 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 세우고, $y$축과 만나는 점의 좌표를 구합니다.
- 역함수 관계를 이용한 치환적분: 직접 구하기 어려운 함수 $g(t)$의 적분을, 원래 알고 있는 변수 $s$에 대한 적분으로 바꾸어 계산합니다.
- 부분적분법과 유리함수의 적분: 치환한 식을 적분하기 위해 부분적분법을 쓰고, 분수의 차수를 낮추어 적분합니다.
단계별 풀이
1단계: 접선의 방정식과 $y$절편 구하기
먼저 함수 $f(x) = \frac{1}{2}x^2 - x + \ln(1 + x)$를 미분하여 접선의 기울기를 구해봅시다. 몫의 미분법과 로그함수의 미분법을 적용합니다.
$$f'(x) = x - 1 + \frac{1}{1+x} = \frac{(x-1)(1+x) + 1}{1+x} = \frac{x^2 - 1 + 1}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$$
곡선 위의 점 $P(s, f(s))$에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - f(s) = f'(s)(x - s)$$
이 접선이 $y$축과 만나는 점 $B$의 $y$좌표를 구하기 위해 $x=0$을 대입합니다.
$$y_B = f(s) - s f'(s)$$
따라서 점 $B$의 좌표는 $(0, f(s) - s f'(s))$입니다.
2단계: 두 점 사이의 거리 $t$를 $s$에 대한 식으로 나타내기
점 $P(s, f(s))$에서 $y$축에 내린 수선의 발을 $A$라고 했습니다. $y$축에 내린 수선의 발이므로 $A$의 좌표는 $(0, f(s))$가 됩니다.
이제 두 점 $A(0, f(s))$와 $B(0, f(s) - s f'(s))$ 사이의 거리 $t$를 구해봅시다. 두 점은 모두 $y$축 위에 있으므로, 거리는 $y$좌표의 차이의 절댓값입니다.
$$t = |f(s) - (f(s) - s f'(s))| = |s f'(s)|$$
문제에서 $s > 0$이라고 했고, $s > 0$일 때 $f'(s) = \frac{s^2}{1+s} > 0$이므로 절댓값을 그냥 벗길 수 있습니다.
$$t = s f'(s) = \frac{s^3}{1+s}$$
3단계: $g(t)$의 정체 파악하고 치환적분 준비하기
문제에서 이 거리 $t$가 되도록 하는 $s$의 값을 $g(t)$라 하자고 했습니다. 즉, $s = g(t)$입니다.
이것은 $t$를 $s$에 대한 함수 $h(s) = \frac{s^3}{1+s}$로 나타냈을 때, $g(t)$는 이 함수의 역함수 관계에 있다는 뜻입니다.
$$t = h(s) \iff s = g(t)$$
우리가 구해야 하는 값은 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt$입니다. $g(t)$를 직접 $t$에 대한 식으로 나타내기는 매우 어렵기 때문에, $t = h(s)$로 치환하여 $s$에 대한 적분으로 바꾸어 풀 것입니다.
- 미분항 바꾸기: $t = h(s)$이므로 $dt = h'(s) ds$입니다.
- 적분 구간 바꾸기:
* $t = \frac{1}{2}$일 때: $\frac{s^3}{1+s} = \frac{1}{2} \implies 2s^3 - s - 1 = 0$을 만족하는 양수 $s$를 찾으면 $s=1$입니다.
* $t = \frac{27}{4}$일 때: $\frac{s^3}{1+s} = \frac{27}{4} \implies 4s^3 - 27s - 27 = 0$을 만족하는 양수 $s$를 찾으면 $s=3$입니다. (대입해 보면 $4(27) - 81 - 27 = 0$이 성립합니다.)
따라서 구하고자 하는 정적분 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt = \int_{1}^{3} s \cdot h'(s) ds$$
4단계: 부분적분법과 유리함수 적분으로 계산하기
이제 부분적분법($\int u v' = u v - \int u' v$)을 적용해 봅시다. $u = s$, $v' = h'(s)$로 둡니다.
$$\int_{1}^{3} s \cdot h'(s) ds = \Big[ s \cdot h(s) \Big]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} h(s) ds$$
첫 번째 항 계산:
$$\Big[ s \cdot h(s) \Big]_{1}^{3} = 3 \cdot h(3) - 1 \cdot h(1) = 3 \left(\frac{27}{4}\right) - 1 \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{81}{4} - \frac{2}{4} = \frac{79}{4}$$
**두 번째 항 계산 ($\int_{1}^{3} h(s) ds$)**:
$h(s) = \frac{s^3}{1+s}$이므로, 분자의 차수를 낮추기 위해 분수를 변형합니다.
$$s^3 = (s^3 + 1) - 1 = (s+1)(s^2 - s + 1) - 1$$
$$\frac{s^3}{1+s} = s^2 - s + 1 - \frac{1}{1+s}$$
이제 이 식을 적분합니다.
$$\int_{1}^{3} \left( s^2 - s + 1 - \frac{1}{1+s} \right) ds = \left[ \frac{1}{3}s^3 - \frac{1}{2}s^2 + s - \ln(1+s) \right]_{1}^{3}$$
$$= \left( 9 - \frac{9}{2} + 3 - \ln 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 - \ln 2 \right)$$
$$= \left( \frac{15}{2} - 2\ln 2 \right) - \left( \frac{5}{6} - \ln 2 \right)$$
$$= \frac{15}{2} - \frac{5}{6} - \ln 2 = \frac{40}{6} - \ln 2 = \frac{20}{3} - \ln 2$$
최종 계산:
구하고자 하는 값은 두 계산 결과를 빼는 것입니다.
$$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{27}{4}} g(t) dt = \frac{79}{4} - \left( \frac{20}{3} - \ln 2 \right) = \frac{237 - 80}{12} + \ln 2 = \frac{157}{12} + \ln 2$$
답
정답은 ⑤번인 $$\frac{157}{12} + \ln 2$$ 입니다.
확인해보기
함수 $y=h(x)$의 역함수가 $g(x)$일 때, 정적분 $\int_{h(\alpha)}^{h(\beta)} g(t) dt$를 $t = h(x)$로 치환하여 $x$에 대한 정적분 식으로 변환하는 과정을 스스로 유도해 보세요. (이 과정이 머릿속에 그려져야 역함수 적분 문제를 쉽게 풀 수 있습니다!)