어떤 문제인가
이 문제는 등차수열과 등비수열의 성질, 그리고 무한급수(등비급수와 부분분수 급수)를 융합한 종합적인 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열과 등비수열의 일반항: 첫째항과 공차가 같을 때의 등차수열의 특징을 파악합니다.
- 등비중항: 등비수열에서 연속하는 세 항 사이의 관계를 이용해 미지수를 구합니다.
- 무한급수의 수렴: 등비급수의 합 공식과 부분분수를 이용한 소거형 급수(망원급수)의 합을 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$을 기호로 나타내기
먼저 수열 $\{a_n\}$은 첫째항과 공차가 같다고 했습니다. 첫째항을 $d$ ($d \neq 0$)라고 하면 공차도 $d$가 되므로, 일반항 $a_n$은 다음과 같습니다.
$$a_n = d + (n-1)d = nd$$
등비수열 $\{b_n\}$의 첫째항을 $b_1$, 공비를 $r$이라고 하면 일반항 $b_n$은 다음과 같습니다.
$$b_n = b_1 r^{n-1}$$
2단계: 조건식을 이용하여 $d$의 값 구하기
조건에서 어떤 자연수 $k$에 대하여 다음이 성립한다고 했습니다.
$$b_{k+i} = \frac{1}{a_i} - 1 \quad (i = 1, 2, 3)$$
이 식에 $i=1, 2, 3$을 각각 대입해 봅시다.
- $i=1$일 때: $b_{k+1} = \frac{1}{a_1} - 1 = \frac{1}{d} - 1$
- $i=2$일 때: $b_{k+2} = \frac{1}{a_2} - 1 = \frac{1}{2d} - 1$
- $i=3$일 때: $b_{k+3} = \frac{1}{a_3} - 1 = \frac{1}{3d} - 1$
이때 $b_{k+1}, b_{k+2}, b_{k+3}$은 등비수열 $\{b_n\}$의 연속하는 세 항이므로, 등비중항의 성질이 성립합니다.
$$(b_{k+2})^2 = b_{k+1} \cdot b_{k+3}$$
계산을 편리하게 하기 위해 $\frac{1}{d} = x$라고 치환해 봅시다.
$$\left( \frac{x}{2} - 1 \right)^2 = (x - 1) \left( \frac{x}{3} - 1 \right)$$
양변을 전개하여 정리합니다.
$$\frac{x^2}{4} - x + 1 = \frac{x^2}{3} - \frac{4}{3}x + 1$$
$$\frac{x^2}{3} - \frac{x^2}{4} - \frac{4}{3}x + x = 0$$
$$\frac{x^2}{12} - \frac{x}{3} = 0$$
$$\frac{x}{3} \left( \frac{x}{4} - 1 \right) = 0$$
$a_1 \neq 0$이므로 $d \neq 0$이고, 따라서 $x \neq 0$입니다.
그러므로 $\frac{x}{4} - 1 = 0$에서 $x = 4$가 됩니다.
$x = \frac{1}{d} = 4$이므로, **$d = \frac{1}{4}$**입니다.
따라서 등차수열의 일반항은 **$a_n = \frac{n}{4}$**이 됩니다.
3단계: 등비수열 $\{b_n\}$의 공비와 일반항 구하기
구한 $d = \frac{1}{4}$을 대입하여 $b_{k+1}, b_{k+2}, b_{k+3}$의 실제 값을 구해봅시다.
- $b_{k+1} = 4 - 1 = 3$
- $b_{k+2} = 2 - 1 = 1$
- $b_{k+3} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$
연속하는 항의 비를 통해 공비 $r$을 구할 수 있습니다.
$$r = \frac{b_{k+2}}{b_{k+1}} = \frac{1}{3}$$
또한, $b_{k+1} = b_1 r^k = 3$이므로 다음과 같이 $b_1$을 $k$에 대한 식으로 나타낼 수 있습니다.
$$b_1 \left( \frac{1}{3} \right)^k = 3 \implies b_1 = 3 \cdot 3^k = 3^{k+1}$$
따라서 수열 $\{b_n\}$의 일반항은 다음과 같습니다.
$$b_n = 3^{k+1} \left( \frac{1}{3} \right)^{n-1} = 3^{k+2-n}$$
4단계: 무한급수 계산과 자연수 $k$ 결정하기
이제 주어진 부등식을 해결해 봅시다.
$$0 < \sum_{n=1}^{\infty} \left( b_n - \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right) < 30$$
이 급수를 두 부분으로 나누어 각각 계산하겠습니다.
**첫 번째 부분: $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ (등비급수)**
첫째항이 $b_1 = 3^{k+1}$이고 공비가 $r = \frac{1}{3}$이므로, 등비급수의 합 공식 $\frac{a}{1-r}$을 사용합니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \frac{3^{k+1}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3^{k+1}}{\frac{2}{3}} = \frac{3^{k+2}}{2}$$
**두 번째 부분: $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$ (부분분수 급수)**
$a_n = \frac{n}{4}$, $a_{n+1} = \frac{n+1}{4}$이므로 대입하면,
$$\frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{\frac{n}{4} \cdot \frac{n+1}{4}} = \frac{16}{n(n+1)} = 16 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)$$
이 급수는 이웃한 항들이 서로 지워지는 망원급수 형태입니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = 16 \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) = 16 (1 - 0) = 16$$
이제 두 결과를 부등식에 대입합니다.
$$0 < \frac{3^{k+2}}{2} - 16 < 30$$
각 변에 16을 더합니다.
$$16 < \frac{3^{k+2}}{2} < 46$$
각 변에 2를 곱합니다.
$$32 < 3^{k+2} < 92$$
$k$는 자연수이므로 $k+2$도 자연수입니다. 3의 거듭제곱 중 이 범위에 있는 값은 $3^4 = 81$뿐입니다.
$$3^{k+2} = 81 = 3^4 \implies k+2 = 4 \implies k = 2$$
5단계: 최종 구하고자 하는 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_2 \times \sum_{n=1}^{\infty} b_{2n}$입니다.
- 먼저 $a_2$를 구합니다.
$$a_2 = 2d = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$
- 다음으로 수열 $\{b_{2n}\}$의 무한급수를 구합니다. $k=2$이므로 $b_n = 3^{4-n}$입니다.
따라서 $b_{2n} = 3^{4-2n}$입니다.
* $n=1$일 때 첫째항: $b_2 = 3^{4-2} = 9$
* $n=2$일 때 둘째항: $b_4 = 3^{4-4} = 1$
* 이 수열은 첫째항이 $9$이고 공비가 $\frac{1}{9}$인 등비수열입니다.
이 등비급수의 합은 다음과 같습니다.
$$\sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{9}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{\frac{8}{9}} = \frac{81}{8}$$
따라서 최종 계산은 다음과 같습니다.
$$a_2 \times \sum_{n=1}^{\infty} b_{2n} = \frac{1}{2} \times \frac{81}{8} = \frac{81}{16}$$
이 분수는 기약분수이므로 $p = 16$, $q = 81$입니다.
최종적으로 $p+q = 16 + 81 = 97$이 됩니다.
답
$$97$$
확인해보기
이 문제의 4단계에서 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$을 계산할 때 부분분수 분해를 사용했습니다.
그렇다면, 수열 $a_n$이 등차수열일 때 일반적인 식 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$은 공차 $d$와 첫째항 $a_1$을 이용하여 어떻게 공식화할 수 있을지 스스로 유도해 보세요. (힌트: 부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$를 사용하고, $a_{n+1} - a_n = d$임을 이용합니다.)