어떤 문제인가
조건 (가), (나)로 역함수 $f^{-1}$가 주어진 증가·연속 함수 $f$에 대해, 점 $(1,0)$을 지나는 기울기 $m$의 직선과 곡선 $y=f(x)$의 교점 개수 $g(m)$이 불연속이 되는 $m$의 값들을 찾아 주어진 식의 값을 구하는 문제예요. 전체 흐름은 이래요. 조건 (가), (나)와 '증가·연속'으로부터 $f^{-1}$를 구간별로 확정하고, 그 역함수 $f$의 그래프 개형(기울기 $f' \le 1$, 양쪽 꼬리는 로그형 증가)을 파악해요. 그러면 $g(m)$은 (i) $m=0$에서 꼬리 교점 2개가 무한대로 사라지며 불연속, (ii) 왼쪽 로그 분기에 접하는 기울기 $m^*$에서 불연속이 돼요. 접선 조건이 정확히 $\ln b = -2b$, 즉 $\dfrac{\ln b}{b} = -2$가 되는 것이 핵심이에요. 사용할 개념은 역함수의 그래프, 직선과 곡선의 교점 개수 분석, 접선 조건이에요.
단계별 풀이
- **$f^{-1}$를 확정해요.** (가)에서 $|x|\le 1$일 때 $\left(f^{-1}(x)\right)^2 = \dfrac{x^2(x^2-5)^2}{4}$이므로 $f^{-1}(x) = \pm\dfrac{x(x^2-5)}{2}$예요. $\dfrac{x(x^2-5)}{2}=\dfrac{x^3-5x}{2}$는 $|x|\le1$에서 도함수 $\dfrac{3x^2-5}{2}<0$으로 감소하므로, 증가함수가 되려면
$$f^{-1}(x)=\frac{5x-x^3}{2} \quad (|x|\le 1), \qquad f^{-1}(\pm1)=\pm2$$
이어야 해요. (나)에서 $|x|>1$일 때 $|f^{-1}(x)|=e^{|x|-1}+1$인데, $x=\pm1$에서의 연속성과 증가성으로
$$f^{-1}(x)=e^{x-1}+1 \;(x>1), \qquad f^{-1}(x)=-e^{-x-1}-1 \;(x<-1)$$
로 정해져요.
- **$f$의 개형을 파악해요.** 역함수를 취하면
$$f(x)=\begin{cases} -1-\ln(-x-1) & (x\le -2)\\ \big(\tfrac{5y-y^3}{2}\big)^{-1}\text{의 값} & (-2\le x\le 2,\; f(x)\in[-1,1])\\ 1+\ln(x-1) & (x\ge 2) \end{cases}$$
$f$는 홀함수이고, $f'(x)=\dfrac{2}{5-3y^2}$ (중앙, $y=f(x)$), $f'(x)=\dfrac{1}{x-1}$ ($x>2$), $f'(x)=\dfrac{1}{-x-1}$ ($x<-2$)예요. 따라서 $f' \le 1$이고 등호는 $x=\pm2$에서만 성립하며( $C^1$ 접합 ), $f'(0)=\tfrac25$가 중앙 최소 기울기이고 양쪽 꼬리에서 $f'\to 0$이에요.
- **교점 개수 $g(m)$을 세요.** $F(x)=m(x-1)-f(x)$의 영점 개수를 세면 돼요.
- $m<0$: 감소 직선과 증가 곡선이므로 교점 1개예요. $m=0$: $f(x)=0$은 $x=0$뿐이므로 $g(0)=1$이에요.
- $m>1$: $F'=m-f'\ge m-1>0$으로 $F$가 순증가 $\Rightarrow$ $g=1$이에요. $m=1$일 때도 $F'\ge0$ (등호는 $x=\pm2$의 고립점)이고 $F(2)=0$이므로 교점은 $x=2$ 하나, $g(1)=1$이에요.
- $0<m<1$: $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$이므로 직선이 양쪽 꼬리의 로그 증가를 이겨 $F(-\infty)=-\infty$, $F(+\infty)=+\infty$예요.
- 왼쪽 분기의 임계점: $f'(x_1)=m \Rightarrow x_1=-1-\tfrac1m$, 이때 국소 최댓값 $F(x_1)= m\big(-2-\tfrac1m\big)-\big(-1+\ln m\big) = -2m-\ln m$이에요.
- 오른쪽 분기의 임계점: $x_4=1+\tfrac1m$, 국소 최솟값 $F(x_4)= 1-\big(1+\ln\tfrac1m\big)=\ln m<0$ (항상 음수)이에요.
- 중앙 분기: 접선 조건을 풀면 $y(5-3y^2)=5y-y^3-2 \Rightarrow y^3=1 \Rightarrow y=1$, 즉 접점은 끝점 $(2,1)$, $m=1$뿐이며 $0<m<1$에서 중앙의 국소 극값들은 모두 음수( 예: $m=0.8$에서 국소 최댓값 $\approx -0.19$ )예요.
따라서 $0<m<1$에서 영점 개수는 $F(x_1)=-2m-\ln m$의 부호로 결정돼요. $-2m-\ln m=0$의 해를 $m^*$라 하면($\ln m^*=-2m^*$, $m^*\approx 0.4263$):
$$g(m)=\begin{cases}1 & (m\le 0)\\ 3 & (0<m<m^*)\\ 2 & (m=m^*) \; (\text{접점 1개}+\text{오른쪽 관통 1개})\\ 1 & (m>m^*)\end{cases}$$
- 불연속점과 최종값을 구해요. $g$는 $m=0$ (값 1, 우극한 3)과 $m=m^*$ (좌극한 3, 값 2, 우극한 1)에서 불연속이므로 $a=0$, $b=m^*$예요.
$b$는 $\ln b=-2b$를 만족하므로 $\dfrac{\ln b}{b}=-2$, $\left(\dfrac{\ln b}{b}\right)^2=4$예요.
$$g(a)\times\Big(\lim_{m\to a+}g(m)\Big) + g(b)\times\left(\frac{\ln b}{b}\right)^2 = 1\times 3 + 2\times 4 = 11.$$
검산
컴퓨터로 $f$를 이분법으로 구성해 $F$의 부호 변화를 400만 격자에서 세어 보면 $g(-0.5)=1$, $g(0)=1$, $g(0.05)=g(0.2)=g(0.4)=g(0.423)=3$, $g(0.429)=g(0.6)=g(0.9)=g(1)=g(1.5)=1$로 위 분류와 일치해요. 또 $m^*=0.426302751\ldots$에서 $\dfrac{\ln m^*}{m^*}=-2.000000$이 확인되고, 접점 $x_1=-3.3458$에서 $F(x_1)=2\times10^{-16}\approx0$이 국소 최댓값이라는 것($x_1\pm0.1$에서 $F<0$)도 확인돼요. 최종식은 $1\times3+2\times(-2)^2=11$이에요.
답
11
확인해보기
$m$이 $0$보다 큰 값에서 $0$으로 다가갈 때 직선과 곡선의 양쪽 꼬리 교점 2개가 어디로 사라지는지, 그래서 $g$가 $m=0$에서 왜 불연속이 되는지 스스로 설명해 볼까요?