어떤 문제인가
이 문제는 지수에 분수와 음수가 포함된 식을 간단히 계산하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 밑 통일하기: 지수법칙을 적용하려면 곱해지는 두 수의 '밑(base)'이 같아야 합니다. $9$를 $3$의 거듭제곱으로 나타내어 밑을 $3$으로 통일합니다.
- 지수법칙 (거듭제곱의 거듭제곱): $(a^m)^n = a^{m \times n}$
- 지수법칙 (밑이 같은 두 수의 곱): $a^m \times a^n = a^{m+n}$
- 지수가 0일 때의 값: $0$이 아닌 모든 수 $a$에 대하여 $a^0 = 1$입니다.
단계별 풀이
1단계: 밑을 $3$으로 통일하기
지수법칙을 편리하게 쓰기 위해, 식에 있는 $9$를 밑이 $3$인 거듭제곱으로 바꾸어 줍니다. $9 = 3^2$이므로, $9^{\frac{1}{4}}$은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$9^{\frac{1}{4}} = (3^2)^{\frac{1}{4}}$$
여기에 지수법칙 $(a^m)^n = a^{m \times n}$을 적용하여 지수끼리 곱해줍니다.
$$(3^2)^{\frac{1}{4}} = 3^{2 \times \frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{2}}$$
따라서 원래 식은 다음과 같이 바뀝니다.
$$3^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{2}}$$
2단계: 지수법칙을 이용하여 곱셈 계산하기
이제 밑이 $3$으로 같아졌으므로, 밑이 같은 두 수의 곱셈 지수법칙($a^m \times a^n = a^{m+n}$)을 적용합니다. 두 지수를 서로 더해주면 됩니다.
$$3^{\frac{1}{2}} \times 3^{-\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right)}$$
지수를 계산하면 다음과 같습니다.
$$\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) = 0$$
따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$3^0$$
3단계: 최종 값 구하기
수학에서 $0$이 아닌 모든 수의 $0$제곱은 항상 $1$입니다. 즉, $a^0 = 1$이므로 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
$$3^0 = 1$$
답
정답은 **① $1$** 입니다.
확인해보기
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> 질문: $8^{\frac{1}{3}} \times 2^{-1}$의 값은 무엇일까요?