어떤 문제인가
이 문제는 지수함수의 그래프와 도형의 성질을 결합한 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 지수함수의 점근선: 지수함수 $y = a^x - q$의 점근선은 $y = -q$가 됩니다.
- 좌표 설정: 그래프 위의 점들을 하나의 미지수(예: $k$)를 사용해 좌표로 나타내는 것이 풀이의 시작입니다.
- 삼각형의 넓이: 좌표평면 위에서 한 변이 축에 평행한 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 점근선 구하기와 점들의 좌표 설정하기
먼저 곡선 $y = a^x - 2$의 점근선을 알아봅시다.
$a > 1$이므로 $x$가 음수 방향으로 아주 작아질 때 $a^x$는 $0$에 가까워집니다. 따라서 점근선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y = -2$$
이제 점 $\text{A}$의 $x$좌표를 $k$라고 해봅시다. 점 $\text{A}$는 제1사분면에 있으므로 $k > 0$입니다.
점 $\text{A}$를 지나고 $y$축에 평행한 직선은 $x = k$라는 직선이 됩니다. 이 직선 위에 세 점 $\text{A, B, C}$가 모두 있으므로, 이들의 $x$좌표는 모두 $k$로 같습니다.
- 점 $\text{A}$는 곡선 $y = a^x - 2$ 위의 점이므로: $\text{A}(k, a^k - 2)$
- 점 $\text{B}$는 $x$축($y=0$)과의 교점이므로: $\text{B}(k, 0)$
- 점 $\text{C}$는 점근선 $y = -2$와의 교점이므로: $\text{C}(k, -2)$
2단계: $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BC}}$ 조건 활용하기
세 점 $\text{A, B, C}$는 모두 세로선 $x = k$ 위에 일렬로 서 있습니다. 따라서 선분의 길이는 $y$좌표의 차이로 쉽게 구할 수 있습니다.
- $\overline{\text{AB}}$의 길이: 점 $\text{A}$의 $y$좌표에서 점 $\text{B}$의 $y$좌표를 뺍니다.
$$\overline{\text{AB}} = (a^k - 2) - 0 = a^k - 2$$
- $\overline{\text{BC}}$의 길이: 점 $\text{B}$의 $y$좌표에서 점 $\text{C}$의 $y$좌표를 뺍니다.
$$\overline{\text{BC}} = 0 - (-2) = 2$$
문제에서 $\overline{\text{AB}} = \overline{\text{BC}}$라고 했으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.
$$a^k - 2 = 2$$
$$a^k = 4$$
이 식을 통해 점 $\text{A}$의 $y$좌표는 $a^k - 2 = 4 - 2 = 2$가 됨을 알 수 있습니다.
즉, 점들의 좌표는 다음과 같이 정리됩니다.
$$\text{A}(k, 2), \quad \text{B}(k, 0), \quad \text{C}(k, -2)$$
3단계: 삼각형 $\text{AOC}$의 넓이로 $k$ 구하기
삼각형 $\text{AOC}$의 넓이가 $8$이라는 조건을 이용해 $k$의 값을 구해봅시다.
세로로 서 있는 선분 $\text{AC}$를 삼각형의 밑변으로 생각하면 편합니다.
- **밑변의 길이 ($\overline{\text{AC}}$)**: 점 $\text{A}$에서 점 $\text{C}$까지의 거리이므로, $\overline{\text{AB}} + \overline{\text{BC}} = 2 + 2 = 4$입니다.
- 높이: 원점 $\text{O}(0,0)$에서 직선 $x = k$까지의 수직 거리이므로, 바로 $k$가 됩니다.
삼각형의 넓이 공식에 대입하면:
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times \overline{\text{AC}} \times (\text{높이}) = \frac{1}{2} \times 4 \times k = 2k$$
이 넓이가 $8$이므로:
$$2k = 8 \implies k = 4$$
따라서 선분 $\text{OB}$의 길이는 점 $\text{B}(k, 0)$의 $x$좌표와 같으므로 $\overline{\text{OB}} = 4$입니다.
4단계: $a$의 값과 최종 답 구하기
2단계에서 구한 식 $a^k = 4$에 $k = 4$를 대입합니다.
$$a^4 = 4$$
$a > 1$이므로 양변에 $\frac{1}{4}$제곱을 해주면:
$$a = 4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $a \times \overline{\text{OB}}$입니다.
$$a \times \overline{\text{OB}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 4 = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^2 = 2^{\frac{1}{2} + 2} = 2^{\frac{5}{2}}$$
답
**③ $2^{\frac{5}{2}}$**
확인해보기
지수함수 $y = 3^{x+1} - 4$가 있습니다. 이 함수의 점근선의 방정식은 무엇일까요? 또, 이 점근선이 $y$축과 만나는 점의 좌표는 어떻게 될까요? 스스로 생각해보세요!