어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점의 속도가 주어졌을 때, 점의 위치, 운동 방향, 그리고 움직인 거리를 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다.
- 위치와 속도의 관계: 시각 $t=0$일 때 원점을 출발했으므로, 시각 $t$에서의 위치 $x(t)$는 속도 $v(t)$를 $0$부터 $t$까지 정적분한 값과 같습니다. ($x(t) = \int_{0}^{t} v(dt) dt$)
- 운동 방향의 변화: 점의 운동 방향이 바뀐다는 것은 속도 $v(t)$의 부호(양수에서 음수, 또는 음수에서 양수)가 바뀐다는 것을 의미합니다.
- 움직인 거리: 점이 실제로 이동한 총 거리는 속도의 크기(속력)를 적분한 값입니다. 즉, 속도에 절댓값을 씌워 정적분해야 합니다. ($\int_{a}^{b} |v(t)| dt$)
단계별 풀이
1단계: <보기> ㄱ 확인하기 ($k=0$일 때, $t=1$에서의 위치)
먼저 $k=0$을 속도 식에 대입해 봅시다.
$$v(t) = t^2 + 4$$
시각 $t=0$일 때 원점($x=0$)에서 출발했으므로, 시각 $t=1$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치 $x(1)$은 다음과 같이 정적분으로 구할 수 있습니다.
$$x(1) = \int_{0}^{1} (t^2 + 4) dt$$
이제 적분을 계산해 볼까요?
$$x(1) = \left[ \frac{1}{3}t^3 + 4t \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3}(1)^3 + 4(1) \right) - 0 = \frac{1}{3} + 4 = \frac{13}{3}$$
따라서 시각 $t=1$일 때 점 $\mathrm{P}$의 위치는 $\frac{13}{3}$이 맞습니다. (ㄱ은 참)
2단계: <보기> ㄴ 확인하기 ($k=3$일 때, 운동 방향이 바뀌는 횟수)
이번에는 $k=3$을 대입해 봅시다.
$$v(t) = t^2 - 3t + 4$$
운동 방향이 바뀌려면 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 순간(즉, $v(t)=0$이 되면서 좌우에서 부호가 바뀌는 순간)이 존재해야 합니다.
이차방정식 $t^2 - 3t + 4 = 0$의 실근이 존재하는지 판별식 $D$를 사용해 확인해 봅시다.
$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$$
판별식이 $0$보다 작으므로, $v(t) = 0$을 만족하는 실수 $t$는 존재하지 않습니다. 게다가 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 $t$에 대해 $v(t) > 0$입니다.
즉, 점 $\mathrm{P}$는 멈추거나 뒤로 가지 않고 항상 양의 방향으로만 움직입니다. 따라서 운동 방향은 한 번도 바뀌지 않습니다. (ㄴ은 거짓)
3단계: <보기> ㄷ 확인하기 ($k=5$일 때, $t=0$에서 $t=2$까지 움직인 거리)
마지막으로 $k=5$를 대입해 봅시다.
$$v(t) = t^2 - 5t + 4$$
움직인 거리를 구하려면 속도가 양수인 구간과 음수인 구간을 나누어야 합니다. 먼저 $v(t) = 0$이 되는 시각을 찾아봅시다.
$$t^2 - 5t + 4 = 0 \implies (t-1)(t-4) = 0$$
따라서 $t=1$ 또는 $t=4$일 때 속도가 $0$이 됩니다.
우리가 구하고자 하는 구간은 $t=0$부터 $t=2$까지입니다. 이 구간에서 속도의 부호를 살펴보면 다음과 같습니다.
- $0 \le t < 1$ 일 때: $v(t) > 0$ (앞으로 움직임)
- $1 < t \le 2$ 일 때: $v(t) < 0$ (뒤로 움직임)
따라서 움직인 거리 $S$는 다음과 같이 구간을 나누어 절댓값을 씌워 적분해야 합니다.
$$S = \int_{0}^{2} |v(t)| dt = \int_{0}^{1} (t^2 - 5t + 4) dt + \int_{1}^{2} -(t^2 - 5t + 4) dt$$
계산을 편하게 하기 위해 부정적분 $F(t) = \frac{1}{3}t^3 - \frac{5}{2}t^2 + 4t$를 구해두고 대입해 봅시다.
- $F(0) = 0$
- $F(1) = \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{2 - 15 + 24}{6} = \frac{11}{6}$
- $F(2) = \frac{8}{3} - 10 + 8 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{2}{3} = \frac{4}{6}$
이제 각 구간의 정적분 값을 구합니다.
- $0$부터 $1$까지의 변위:
$$\int_{0}^{1} v(t) dt = F(1) - F(0) = \frac{11}{6}$$
- $1$부터 $2$까지의 변위:
$$\int_{1}^{2} v(t) dt = F(2) - F(1) = \frac{4}{6} - \frac{11}{6} = -\frac{7}{6}$$
따라서 움직인 총 거리 $S$는 각 구간의 크기(절댓값)를 더한 것입니다.
$$S = \left| \frac{11}{6} \right| + \left| -\frac{7}{6} \right| = \frac{11}{6} + \frac{7}{6} = \frac{18}{6} = 3$$
움직인 거리는 $3$이 맞습니다. (ㄷ은 참)
답
옳은 것은 ㄱ, ㄷ이므로 답은 ③입니다.
확인해보기
시각 $t=0$에서 $t=3$까지 움직이는 어떤 물체의 속도가 $v(t) = 2t - 4$라고 합니다. 이 물체의 **'시각 $t=3$에서의 위치(변위)'와 '시각 $t=0$에서 $t=3$까지 '움직인 거리'**는 각각 어떻게 다를지 식을 세워 생각해 보세요. (직접 계산하지 않고 식의 형태만 비교해 보아도 좋습니다!)