어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 성질을 이용하여 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a r^{n-1}$입니다.
- 항 사이의 관계(묶어서 생각하기): 등비수열에서 일정한 간격으로 떨어진 항들의 합 사이에는 일정한 규칙(공비의 거듭제곱 관계)이 성립합니다.
단계별 풀이
1단계: 주어진 조건을 두 개의 식 정리하기
문제에서 주어진 연립 방정식을 각각 나누어 써봅시다.
$$2(a_1 + a_4 + a_7) = 6$$
$$a_4 + a_7 + a_{10} = 6$$
첫 번째 식의 양변을 $2$로 나누면 다음과 같은 두 식을 얻을 수 있습니다.
- 식 (1): $a_1 + a_4 + a_7 = 3$
- 식 (2): $a_4 + a_7 + a_{10} = 6$
2단계: 등비수열의 일반항을 대입하여 식 변형하기
등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 합시다. 각 항을 $a$와 $r$로 나타내어 식 (1)과 식 (2)에 대입해 보겠습니다.
- 식 (1):
$$a + a r^3 + a r^6 = 3$$
이 식을 $a$로 묶으면 다음과 같습니다.
$$a(1 + r^3 + r^6) = 3 \quad \cdots \text{㉠}$$
- 식 (2):
$$a r^3 + a r^6 + a r^9 = 6$$
이 식을 $a r^3$으로 묶으면 다음과 같습니다.
$$a r^3(1 + r^3 + r^6) = 6 \quad \cdots \text{㉡}$$
3단계: 두 식의 관계를 통해 공비($r^3$) 구하기
㉠과 ㉡을 가만히 비교해 보세요. 아주 닮았죠?
㉡의 좌변은 ㉠의 좌변에 $r^3$을 곱한 것과 같습니다.
즉,
$$a r^3(1 + r^3 + r^6) = r^3 \times \left[ a(1 + r^3 + r^6) \right]$$
이므로, ㉠의 결과인 $3$을 대입하면 다음과 같습니다.
$$r^3 \times 3 = 6$$
따라서 우리는 공비의 세제곱 값을 아주 쉽게 구할 수 있습니다.
$$r^3 = 2$$
4단계: 첫째항($a$) 구하기
이제 $r^3 = 2$라는 정보를 ㉠식에 대입하여 첫째항 $a$를 구해봅시다.
$r^6$은 $(r^3)^2$이므로 $2^2 = 4$가 됩니다.
$$a(1 + r^3 + r^6) = 3$$
$$a(1 + 2 + 4) = 3$$
$$7a = 3$$
$$a = \frac{3}{7}$$
5단계: 구하고자 하는 $a_{10}$의 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $a_{10}$입니다. 일반항 공식에 의해 $a_{10} = a r^9$입니다.
$r^9$은 $(r^3)^3$으로 쓸 수 있으므로, 우리가 구한 값들을 대입해 봅시다.
$$a_{10} = a \times (r^3)^3$$
$$a_{10} = \frac{3}{7} \times 2^3$$
$$a_{10} = \frac{3}{7} \times 8 = \frac{24}{7}$$
답
**② $\frac{24}{7}$**
확인해보기
공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$에서 $a_1 + a_3 = 5$이고, $a_3 + a_5 = 20$일 때, 이 수열의 공비 $r$의 값은 얼마일까요? (위의 3단계에서 사용한 '묶어서 비교하기' 방법을 적용해 보세요!)